昨天写了网络流的EK算法（写得我自己都不太懂），今天再来总结一下另一个网络最大流的算法Dinic。
先来介绍一个概念：残量网络。
一个网络中所有剩余容量大于0的边和与这些边相连的节点组成这个网络的残量网络。
我们回忆一下EK算法的过程：
1.在网络中寻找一条剩余容量大于0的边，把它加入到增广路中。
2.依据找到的增广路，更新边的剩余容量和最大流。
所以，我们每次对增广路的搜索，都可能需要对整个残量网络进行遍历，而只找到一条增广路，还可以进一步优化。
在这里，我们提出了节点的层次d[x]，它表示从s到x最少需要经过的边数。在残量网络中，满足d[y] = d[x] + 1的所有边(x , y)构成的子图被称为分层图。显然，它是一张有向无环图。
而传说中的Dinic算法就是通过以下两个步骤来求最大流：
1.在残量网络中不断通过BFS构造分层图，直到s不能到达t。
2.在分层图上用DFS求增广路，在回溯时更新剩余容量。
好啦，大体的介绍完了，具体是怎么回事呢？？（其实我也不太懂）
在BFS时，我们每找到一个节点x，它到s的最少边数d[x]一定已经求得，那么所有以x为起点的边(x , y)（剩余容量大于0）都可以成为分层图中的子图，于是我们把所有与x相连的节点y的d[y]（它还没有被赋值）都更新为d[y] = d[x] + 1,因为只需要多走一条边就可以到y了。这样，在BFS结束时，分层图就已经构建出来了。
然后我们在这张分层图上DFS，直到找到汇点t时就回溯，同时更新DFS时经过的每一条边的剩余容量就可以了，最后每次都更新一下最大流maxflow（然后你就AC啦）。时间复杂度比EK快一点，为O(mn^2)其实都是O(能过)
QAQ还是那道题：洛谷P3376模板题
然后我的好看的代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 1 << 29,N = 10100,M = 100100;
int n,m,s,t,maxflow,tot = 1;
int ver[M*2],edge[M*2],Next[M*2],head[M*2];
void add(int x,int y,int z){
ver[++tot] = y;edge[tot] = z;Next[tot] = head[x];head[x] = tot;
ver[++tot] = x;edge[tot] = 0;Next[tot] = head[y];head[y] = tot;//依然要反向建边。
}
queue<int>q;
int d[N];//d[x]记录s到x要经过的最少边数。
bool bfs(){
memset(d,0,sizeof(d));
while(q.size()) q.pop();
q.push(s);d[s] = 1;
while(q.size()){
int x = q.front();q.pop();
for(int i = head[x];i;i = Next[i]){
if(edge[i]){//在残量网络中寻找。
int y = ver[i];
if(d[y]) continue;//如果d[y]有值，说明在x之前已经搜过了，不再搜。
d[y] = d[x] + 1;//没搜过就更新d[y]。
q.push(y);
if(y == t) return 1;//如果到达t，说明分层图建完了。
}
}
}
return 0;//未到达说明以求得网络最大流。
}
int dinic(int x,int flow){//x为当前节点，flow为当前流量。
if(x == t) return flow;//搜到t，结束并回溯。
int rest = flow,k;
for(int i = head[x];i;i = Next[i]){
if(edge[i]){//依旧在残量网络中搜索。
int y = ver[i];
if(d[y] == d[x] + 1){//如果是分层图中的点，说明可以有增广路。
k = dinic(y,min(rest,edge[i]));//接着搜索y，当前流为rest和edge[i]中更小的。
if(!k) d[y] = 0;//如果k==0，说明无法到达 t了，剪枝，从分层图中删去。
edge[i] -= k;//回溯时更新。
edge[i^1] += k;
rest -= k;//剩余流减少，因为要返回flow - rest。
}
}
}
return flow - rest;
}
int main(){
cin>>n>>m;
cin>>s>>t;
for(int i = 1;i <= m; i++){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
add(a,b,c);
}
int flow = 0;
while(bfs())
while((flow = dinic(s,inf))) maxflow += flow;//更新最大流。
printf("%d",maxflow);
return 0;
}
网络瘤太毒了，我真得只是学了一点点皮毛。。。