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一、什么是二叉搜索树
首先让我们回顾之前说过的查找问题：上次我们之讲过了静态查找，这次我们将通过二叉搜索树实现动态查找。但是针对动态查找，数据该如何组织呢？
二叉搜索树（BST，Binary Search Tree），也称二叉排序树或二叉查找树
二叉搜索树：一颗二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：
- 非空左子树的所有键值小于其根节点的键值
- 非空右子树的所有键值大于其根节点的键值
- 左、右子树都是二叉搜索树
二、二叉搜索操作的特别函数：
Position Find(ElementType X, BinTree BST)：从二叉搜索树BST中查找元素X，返回其所在结点的地址； Postion FindMin(BinTree BST)：从二叉搜索树BST中查找并返回最小元素所在结点的地址； Postion FindMax(BinTree BST)：从二叉搜索树BST中查找并返回最大元素所在结点的地址； BinTree Insert(ElementType X, BinTree BST) BinTree Delete(ElementType X, BinTree BST)
三、二叉查找树的查找操作：Find
- 查找从根节点开始，如果树为空，返回NULL
- 若搜索树非空，则根节点关键字和X进行比较，并进行不同处理：
- 若X小于根节点键值，只需在左子树中继续搜索
- 如果X大于根节点的键值，在右子树中进行继续搜索
- 若两者比较结果是相等，搜索完成，返回指向此结点的指针
/* c语言实现 */ Position Find(ElementType X, BinTree BST) { if (!BST) return NULL; // 查找失败 if (X > BST->Data) return Find(X, BST->Right); // 在右子树中继续查找 // 尾递归 else if (X < BST->Data) return Find(X, BST->Left); // 在左子树中继续查找 // 尾递归 else // X == BST->Data reutrn BST; // 查找成功，返回结点的找到结点的地址 } # python语言实现 def find(self, root, val): '''二叉搜索树查询操作''' if root == None: return False if root.val == val: return True elif val < root.val: return self.query(root.left, val) elif val > root.val: return self.query(root.right, val)
由于上述非递归函数的执行效率高，可将“尾递归”函数改为迭代函数
/* c语言实现 */ Position IterFind(ElementType X, BinTree BST) { while (BST){ if (X > BST->Data) BST = BST->Right; // 向右子树中移动，继续查找 else if (X < BST->Data) BST = BST->Left; // 向左子树中移动，继续查找 else // X == BST->Data return BST; // 查找成功，返回结点的找到结点的地址 } reuturn NULL; // 查找失败 } # python语言实现 def iter_find(self, root, val): '''二叉搜索树查询操作''' while root: if root.val == val: return root elif val < root.val: root = root.left elif val > root.val: root = root.right if root == None: return False
查找效率决定于树的高度
四、查找最大和最小元素
- 从根节点开始，沿着右子树一直往下，直到找到最后一个右子树节点，最大元素一定是在树的最右分支的端结点上
- 从根节点开始，沿着左子树一直往下，直到找到最后一个左子树节点，最小元素一定是在树的最左分支的端结点上
/* c语言实现 */ // 查找最小元素的递归函数 Position FindMin(BinTree BST) { if (!BST) return NULL; // 空的二叉搜索树，返回NULL else if (!BST->Left) reuturn BST; // 找到最左叶结点并返回 else return FindMin(BST->Left); // 沿左分支继续查找 } // 查找最大元素的迭代函数 Postion FindMax(BinTree BST) { if (BST) while (BST->Right) BS = BST->Right; // 沿右分支继续查找，直到最右叶结点 return BST; } # python语言实现 # 查找最小值 def findMin(self, root): '''查找二叉搜索树中最小值点''' if root.left: return self.findMin(root.left) else: return root # 查找最大值 def findMax(self, root): '''查找二叉搜索树中最大值点''' if root.right: return self.findMax(root.right) else: return root
五、二叉搜索树的插入
分析：关键是要找到元素应该插入的位置，可以采用与Find类似的方法。
/* c语言实现 */ BinTree Insert(ElementType X, BinTree BST) { if (!BST){ // 若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树 BST = malloc(sizeof(struct TreeNode)); BST->Data = X; BST->Left = BST->Right = NULL; }else // 开始找要插入元素的位置 if (X < BST->Data) BST->Left = Insert(X, BST->Left); // 递归插入左子树 else if (X > BST->Data) BST->Right = Insert(X, BST->Right); // 递归插入右子树 // else X已经存在，什么都不做 return BST; } # python语言实现 def insert(self, root, val): '''二叉搜索树插入操作''' if root == None: root = TreeNode(val) elif val < root.val: root.left = self.insert(root.left, val) elif val > root.val: root.right = self.insert(root.right, val) return root
例：以一年十二个月的英文缩写为键值，按从一月到十二月顺序输入（以第一个字母、第二个字母的顺序），即输入序列为（Jan, Feb, Mar, Apr, May, Jun, July, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec）
六、二叉搜索树的删除
考虑三种情况
6.1 删除的是叶结点
直接删除，并再修改其父结点指针——置为NULL
以删除35举例：
6.2 删除的结点只有一个孩子结点
以删除33举例
6.3 删除的结点有左右子树
用另一结点替代被删除结点：右子树的最小元素或者左子树的最大元素
以删除41举例
下图为右子树的最小元素替代：
下图为左子树的最大元素替代：
/* c语言实现 */ BinTree Delete(ElementType X, BinTree BST) { Position Tmp; if (!BST) printf("要删除的元素未找到"); else if (X < BST->Data) BST->Left = Delete(X, BST->Left); // 左子树递归删除 else if (X > BST->Data) BST->Right = Delete(X, BST->Right); // 右子树递归删除 else // 找到要删除的结点 if (BST->Left && BST->Right){ // 被删除结点有左右两个子结点 Tmp = FindMin(BST->Right); // 在右子树中找最小的元素填充删除结点 BST->Data = Tmp->Data; BST->Right = Delete(BST->Data, BST->Right); // 在删除结点的右子树中删除最小元素 } else { // 被删除结点有一个或无子结点 Tmp = BST; if (!BST->Left) BST = BST->Right; // 有右孩子或无子结点 else if (!BST->Right) BST = BST->Left; // 有左孩子或无子结点 fee(Tmp); } return BST; } # python语言实现 def delNode(self, root, val): '''删除二叉搜索树中值为val的点''' if root == None: return if val < root.val: root.left = self.delNode(root.left, val) elif val > root.val: root.right = self.delNode(root.right, val) # 当val == root.val时，分为三种情况：只有左子树或者只有右子树、有左右子树、即无左子树又无右子树 else: if root.left and root.right: # 既有左子树又有右子树，则需找到右子树中最小值节点 temp = self.findMin(root.right) root.val = temp.val # 再把右子树中最小值节点删除 root.right = self.delNode(root.right, temp.val) elif root.right == None and root.left == None: # 左右子树都为空 root = None elif root.right == None: # 只有左子树 root = root.left elif root.left == None: # 只有右子树 root = root.right return root
七、Python递归实现-二叉搜索树
# python语言实现 class Node(object): def __init__(self, element): self.element = element self.lchild = None self.rchild = None class Tree(object): def __init__(self, root=None): self.root = root def add(self, cur, item): if item < cur.element: if cur.lchild: self.add(cur.lchild, item) else: cur.lchild = Node(item) else: if cur.rchild: self.add(cur.rchild, item) else: cur.rchild = Node(item)