一、直线方程
- 点斜式：\(y-y_1=k(x-x_1)\)(其中\(l\)过定点\(P_1(x_1，y_1)\)，斜率为\(k\))；
缺陷：不能表示斜率不存在的直线；
- 斜截式：\(y=kx+b\)(\(k\)是斜率，\(b\)是\(y\)截距)；
缺陷：不能表示斜率不存在的直线；
- 两点式：\(\cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_1\neq x_2，y_1\neq y_2)\)(两点是\(P_1(x_1，y_1)、P_2(x_2，y_2)\))，
缺陷：不能表示斜率不存在的和斜率为0的直线；
- 截距式：\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1(a\neq 0，b\neq 0)\)(\(a,b\)分别是横纵截距)，
缺陷：不能表示过原点的直线；
- 一般式：\(Ax+By+C=0\)，
没有上述直线方程的缺陷。
二、直线的参数方程
- 以动点到定点的有向线段的数量为参数，
\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.(t为参数)\)
- 如何将一个直线的普通方程转化为参数方程?1
三、直线系方程
- 定点直线系方程
经过定点\(P(x_0，y_0)\)的直线系方程是\(y-y_0=k(x-x_0)(k是待定系数)\)或者是\(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0(A，B)是待定系数\)；
- 共点直线系方程
经过两条直线\(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0，l_2：A_2x+B_2y+C_2=0\)的交点的直线系方程为\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0(除l_2)\)，其中\(\lambda\)是待定系数。
解释说明：共点直线系方程中为什么不包括\(l_2\)？
由于共点直线系方程为\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0\)，
则当\(\lambda=0\)时，此时直线刻画表达的是直线\(l_1\)，
当\(\lambda\neq 0\)时，要使得直线刻画表达的是直线\(l_2\)，则需要满足共点直线系方程中的\(A_1x+B_1y+C_1=0\)，而它前边没有系数，故不可能突变为\(0\)，这样整个的运算结果就不可能变为\(A_2x+B_2y+C_2=0\)，故共点直线系方程中为什么不包括\(l_2\)；
如果我们将共点直线系方程写为\(\lambda (A_1x+B_1y+C_1)+(A_2x+B_2y+C_2)=0\)，则此时共点直线系方程中就不包含\(l_1\)。
用课件做以说明。
- 平行直线系方程
直线\(y=kx+b\)中，当\(k\)一定而\(b\)变化时，表示平行直线系方程；与直线\(Ax+By+C=0\)平行的直线系方程是\(Ax+By+\lambda=0(C\neq \lambda\)，即不包含两直线重合情况，\(\lambda\) 为参数)。
- 垂直直线系方程
与直线\(Ax+By+C=0(A\neq 0，B\neq 0)\)垂直的直线系方程是\(Bx-Ay+\lambda=0(\lambda 为参数)\)。
四、圆的切线方程
已知圆\(x^2+y^2=r^2\)，则可知
①过圆上的点\(P_0(x_0，y_0)\)的切线方程是\(x_0x+y_0y=r^2\)；
②斜率为\(k\)的直线成为圆的的切线方程为\(y=kx\pm r\sqrt{1+k^2}\)；
五、两圆相交弦方程
引例：比如给定\(\odot C_1：(x-1)^2+(y-1)^2=4\)①，\(\odot C_2：(x+1)^2+(y+1)^2=4\)②，求两圆的相交弦所在的直线方程。
分析：设两个圆相交后的公共点为\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，
则由点\(A\)满足圆\(C_1\)和圆\(C_2\)，，得到\((x_1-1)^2+(y_1-1)^2=4\)，\((x_1+1)^2+(y_1+1)^2=4\)，
两式相减整理得到，\(y_1=-x_1\)；
由点\(B\)满足圆\(C_1\)和圆\(C_2\)，，得到\((x_2-1)^2+(y_2-1)^2=4\)，\((x_2+1)^2+(y_2+1)^2=4\)，
两式相减整理得到，\(y_2=-x_2\)；
说明点\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)都在直线\(y=-x\)上，故两圆的相交弦所在的直线方程为\(y=-x\)。
简单操作：由①-②得到，经过两个圆的相交弦方程为\(-2x-2x-2y-2y=0\)，即\(y=-x\)；
由此类比得到更一般化的情形：
给定\(\odot C_1：(x-a)^2+(y-b)^2=e\)①，\(\odot C_2：(x-c)^2+(y-d)^2=f\)②，注意两圆必须相交； 由①-②得到，经过两个圆的相交弦方程为\((2c-2a)x+(2d-2b)y+a^2-c^2+b^2-d^2-e+f=0\)；
六、相互关系
平行的充要条件
垂直的充要条件
有空待补充。
七、典例剖析
若直线\(x+(1+m)y-2=0\)与直线\(mx+2y+4=0\)平行，则\(m\)的值为【】
分析：由题可知，\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\neq \cfrac{-2}{4}\)①，具体求解时我们往往只利用下式求值，
由\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\)②，解得\(m=1\)或\(m=-2\)，由于刚才扩大了范围，故此时需要代入①式验证，
验证得到\(m=-2\)时不符，故\(m=1\)，则选\(A\)。
反思：满足②式的解不见得就一定满足①式，故不要忘记验证。补充直线平行或垂直的充要条件。
八、求直线方程的方法
待补充
①直接法
②公式法
③直线系法
④向量法
⑤相关点法
⑥参数法
⑦结构分析法
⑧点差法
如给定直线\(y=2x+1\)，其中点\((0，1)\)，点\((1，3)\)都在其上，
我们现在想求做过点\((1，3)\)的直线\(y=2x+1\)的参数方程，
可以这样做，依照模板\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta \cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.(t为参数)\)
定点坐标为\((x_0，y_0)=(1，3)\)，
可知\(k=tan\theta=2\)，引入非零比例因子\(k\)，
得到\(sin\theta=2k\)，\(cos\theta=k(k>0)\)，
由\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)，得到\(k=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，
则可知\(cos\theta=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，\(sin\theta=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
故所给定直线\(y=2x+1\)的参数方程为
\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+\cfrac{\sqrt{5}}{5} t}\\{y=3+\cfrac{2\sqrt{5}}{5} t}\end{array}\right.(t为参数)\)
总结思路：①找个定点；②求解\(cos\theta\)和\(sin\theta\)；③带入模板，OK!↩
来源：http://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7810970.html