【数据结构】线段树
这两天被线段树折磨得痛不欲生，大把大把的时间被花在改错上，遂决定将我在这一知识点的学习笔记记录下来，供以后复习使用。
线段树是一种维护区间信息的数据结构，可以在O(logn)的时间复杂度内实现单点修改/查询以及区间修改/查询。应用范围包括区间求和，区间求最值等。
这篇笔记以维护区间和的线段树为例。
初始化
线段树的存储
我之前使用的是结构体来存储线段树，如下：
struct SegTree
{
int l,r; //存储每个节点表示的区间
int sum; //存储区间和
int lazy; //存储延迟标记（下文提到，也是个令人抓狂的玩意儿）
}segtree[400005];
但当我写到区间查询时，我把用于存储节点区间的l,r和询问的l,r弄混了（！！！）。
这也是为什么我查错查了一个下午没查出来QAQ
其实，我们可以直接使用数组存储线段树的数据以及懒惰标记，每个节点表示的区间现场算，这样也更节省空间。
int tree[400005]; //这里存储的是区间和 int lazy[400005];
当然如果你的线段树要维护多个东西，还是用结构体方便些，也更加直观。
其实嘛，如果你足够细心，就不会弄出我这种沙雕操作。存下l和r也挺好，可以减小代码常数，节省时间。
建树
众所周知，线段树是一棵完全二叉树，当父节点的编号为x时，它的两个子节点可表示为x<<1和x<<1|1（同x2和x2+1）
_注：位运算'<<1'相当于'*2',同时运算效率更高，同时在二进制表示下，左移一位后末位为零，此时'|1'（即把最后一位置为1）相当于'+1'_
void build(int l,int r,int root) //建树
{
lazy[root]=0; //初始化延迟标记为0
if(l==r) //已经初始化到了叶子节点——递归边界
{
tree[root]=source[l]; //这里的source数组存的是初始数据
return;
}
int mid=(l+r)>>1; //将区间分开
build(l,mid,root<<1); //递归初始化左边的子节点
build(mid+1,r,root<<1|1); //递归初始化右边的子节点
pushup(root); //这个函数用于回溯时从下往上更新节点数据（之前是零），后面讲解
}
数据查询
树建成了，就可以应对一波又一波的询问了。
单点查询
在线段树中找单点类似于二分查找，比较简单，直接上代码：
int query1(int root,int l,int r,int pos)
{
if(l==r) //已经搜到了叶子节点——答案
return tree[root];
int mid=(l+r)>>1; //把区间分开
if(pos<=mid) //如果要找的点在左边的区间
return query(root<<1,l,mid,pos); //向左儿子递归查找
else if(pos>mid) //同理，如果在右边的区间
return query(root<<1|1,mid+1,r,pos); //向右儿子递归
}
区间查询
区间查询较单点查询麻烦，但也还好，加上延迟标记才算真麻烦呢。在线段树中，当我们查询一个区间时，我们不必一个一个点地去查询统计，直接取用预处理好的区间的答案即可。
那如果我们要查的区间与预处理的区间不一样，怎么办？（比如说建树时建的是1~5,6~10，要查的是1~6）简单，把区间照着割开查完，再合起来****呀！3~7就分割成3~3,4~5和6~7，找到它们的和再加起来。
//为了避免重蹈覆辙，询问的区间用ql和qr表示。它们在递归中是始终不变的常量，这一点要记住
int query2(int root,int l,int r,int ql,int qr)
{
if(ql<=l&&qr>=r) //如果我们查到的区间已经包含在了询问的区间中
return tree[root]; //不要犹豫，直接返回答案，后面再加起来
int mid=(l+r)>>1; //同样的，按照之前的划分把区间分开
int ans=0;
if(ql<=mid) //如果在左儿子中有我们要查询区间的一部分
ans+=query2(root<<1,l,mid,ql,qr); //那我们就要递归去找到那一部分失落的宝藏，加上来
if(qr>mid) //右儿子同理
ans+=query2(root<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
return ans;
}
数据修改
pushup()
当我们建树初始化或修改数据时，都是递归找到叶子节点，然后修改叶子节点的数据。而这时它的父节点还没有被更新，因此我们需要构建一个pushup函数，回溯时在每一层都用自己的两个子节点的数据更新自己的数据。
void pushup(int root)
{
tree[root]=(tree[root<<1]+tree[root<<1|1]);
}
这样可以保证每次修改之后，每一层的数据都是最新的。
单点修改
单点修改的原理和单点查询是一样的，都是递归查找到某一点。只不过单点修改把返回值变为了修改值，并且回溯时更新了父节点。
void update1(int l,int r,int root,int pos,int value) //多了一个传入参数——修改的值
{
if(l==r)
{
tree[root]+=value;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid)
update1(l,mid,root<<1,pos,value);
else
update1(mid+1,r,root<<1|1,pos,value);
pushup(root); //递归完毕，向上更新
}
区间修改
与标准的线段树相比，这还是一个半成品（without延迟标记），因此它跑起来很慢，但放在这里有助于我们的理解。
分区间过程类似区间查询，而修改过程类似单点修改
//仔细查看这里与区间查询的不同点，有处地方产生了大量不必要运算，大大增加了时间复杂度
//延迟标记为了解决它应运而生
void update2(int l,int r,int root,int ul,int ur,int value)
{
if(l==r)
{
tree[root]=tree[root]+value;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(ul<=mid) //如果左边部分包含了我们要修改的区间
update2(l,mid,root<<1,ul,ur,value); //递归下去，找到它，改掉它！
if(ur>mid)
update2(mid+1,r,root<<1|1,ul,ur,value);
pushup(root); //别忘了更新
}
数据更新进阶版——延迟标记的使用
线段树之精髓所在
延迟标记（又名懒惰标记）
懒一点反而更省时间
之前提到，每次区间修改时都要递归到叶子节点，修改完毕再回溯，简直就像一个一个单点修改。这时就出现了问题——举个例子：假设我们拥有一个1~10的线段树，此时我们需要改1~5的值（刚好是根节点的左儿子），而这时再递归到叶子节点就显得过于麻烦了，要从1~1,2~2......到1~2,1~3,4~5最后到1~5，这些全部都要更新一遍，如果数据量再大一点，估计就T掉了。况且我们花这么大力气修改，如果后面没有查询到，岂不是很亏(╯﹏╰)。
因此，我们干脆每次修改时，只更新到对应父节点而不向下继续（比如在上文例子中只更新到1~5）。当我们需要查询子节点时，再继续向下更新，查到哪里更哪里。而这时，我们需要一个标记来表示我们曾更新到这里但没有向下继续，以便下次查询时继续更新，这就是“延迟标记”。
延迟标记的记录
因此，我们在区间修改时就可以像区间查询那样，把整个区间分割成几段已有的区间进行修改，再给它们加上延迟标记。
注意：此时我们修改的是区间，也就是说区间内的每一个元素都要加上相应数值，因此在修改区间时，要乘上区间内元素的数量。
if(ul<=l&&ur>=r)
{
tree[root]=tree[root]+k*(r-l+1);
lazy[root]=lazy[root]+k;
return;
}
这样就省事多了~
标记下传 pushdown()
可这时候我们又碰到了一个难题：我们之前记下了延时标记，那当我们要用标记以下的数据的时候，怎么继续向下更新呢？
向下更新主要分两个部分：延迟标记下传，把延迟标记转化为区间和加上去。第一步还好说，直接把延迟标记的值赋给子节点就好了，第二步就有点麻烦了：我们之前存储的是区间内每个点需要更改的数值，而我们要加上的是区间内总共的变化。因此，我们还是需要乘上区间内元素的个数。
为了达成这个目的，我们在此构建一个pushdown()函数。
void pushdown(int root,int ln,int rn) //需要这一操作的节点，左区间元素个数，右区间元素个数
{
if(lazy[root]!=0) //总不能传个寂寞吧
{
lazy[root<<1]+=lazy[root]; //左区间延迟标记赋值
lazy[root<<1|1]+=lazy[root]; //右区间延迟标记赋值
tree[root<<1]+=lazy[root]*ln; //左区间数据更新
tree[root<<1|1]+=lazy[root]*rn; //右区间数据更新
lazy[root]=0; //别忘了把原来的标记清除，不然下次就会重复下传了
}
}
其实到了叶子节点，你就可以跳过pushdown这一操作了（叶子节点下啥也没有），这也是对代码的一个优化。
因此我们隆重推出各种查询修改的2.0版本（单点修改不需要传回最新数据，也不像区间修改）
单点查询2.0版本
直接上代码,只是多了个pushdown
int query1(int root,int l,int r,int pos)
{
if(l==r)
return tree[root];
int mid=(l+r)>>1;
pushdown(root,mid-l+1,r-mid); //看这里！
if(pos<=mid)
return query(root<<1,l,mid,pos);
else if(pos>mid)
return query(root<<1|1,mid+1,r,pos);
}
区间查询2.0版本
也是多了一行一样的代码：pushdown(root,mid-l+1,r-mid)
……emmm我不想全部再贴一遍了你们自己脑补添加吧
区间修改2.0版本
void update2(int l,int r,int root,int ul,int ur,int value)
{
if(ul<=l&&ur>=r)
{
tree[root]=tree[root]+value*(r-l+1);
lazy[root]=lazy[root]+value;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
pushdown(root,mid-l+1,r-mid);
if(ul<=mid)
update2(l,mid,root<<1,ul,ur,value);
if(ur>mid)
update2(mid+1,r,root<<1|1,ul,ur,value);
pushup(root);
}
总结
先贴一下完整版的代码吧~
P3372 【模板】线段树 1的题解
没有单点修改和查询不要看我只是把之前的代码复制粘贴合起来凑字数，这工程量也不小的qwq
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
int source[100005];
int tree[400005];
int lazy[400005];
void pushdown(int root,int ln,int rn)
{
if(lazy[root]!=0)
{
lazy[root<<1]+=lazy[root];
lazy[root<<1|1]+=lazy[root];
tree[root<<1]+=lazy[root]*ln;
tree[root<<1|1]+=lazy[root]*rn;
lazy[rt]=0;
}
}
void pushup(int root)
{
tree[root]=(tree[root<<1]+tree[root<<1|1]);
}
void build(int l,int r,int root) //建树
{
lazy[root]=0;
if(l==r)
{
tree[root]=source[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,root<<1);
build(mid+1,r,root<<1|1);
pushup(root);
}
int query(int root,int l,int r,int ql,int qr)
{
if(ql<=l&&qr>=r)
return tree[root];
int mid=(l+r)>>1;
int ans=0;
pushdown(root,mid-l+1,r-mid);
if(ql<=mid)
ans+=query(root<<1,l,mid,ql,qr);
if(qr>mid)
ans+=query(root<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
return ans;
}
void update(int l,int r,int root,int ul,int ur,int value)
{
if(ul<=l&&ur>=r)
{
tree[root]=tree[root]+value*(r-l+1);
lazy[root]=lazy[root]+value;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
pushdown(root,mid-l+1,r-mid);
if(ul<=mid)
update(l,mid,root<<1,ul,ur,value);
if(ur>mid)
update(mid+1,r,root<<1|1,ul,ur,value);
pushup(root);
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&source[i]);
build(1,n,1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
//不要吐槽我的千奇百怪的变量名了qwq
//我们机房还有用全拼命名变量的旷世奇才呢
int ctrl,x,y,k;
scanf("%lld%lld%lld",&ctrl,&x,&y);
if(ctrl==1)
{
scanf("%lld",&k);
update(1,n,1,x,y,k);
}
if(ctrl==2)
printf("%lld\n",query(1,1,n,x,y));
}
return 0;
}
最后，这只是一篇来自一个小蒟蒻的笔记，请谨慎食用。
如果有错误，请一定一定一定要向我提出，也避免大家学到个错误答案是吧～
我的洛谷账号在右边的菜单里，欢迎打扰qwq