本篇是专门记录斐波那契数列性质的笔记。
在本篇文章中，我们约定\(f_n\)为斐波那契数列的第\(n\)项，并且\(f_0=0\)。
这些公式中，有些是证明的，有些未证明，并且是否补坑看心情。 （其实是太菜不会证
首先，利用事实\(f_n=f_{n+2}-f_{n+1}\)得到
\[\sum\limits_{k=1}^{n}{f_k}=\sum\limits_{k=1}^{n}{(f_{k+2}-f_{k+1})} \]
这是一个叠进和，因此我们很容易得到
\[\sum\limits_{k = 1}^n {{f_k} = {f_{n + 2}} - {f_2} = {f_{n + 2}} - 1} \]
\[f_{n+3}=2f_{n+2}-f_n=2f_{n+1}+f_n\]
\[f_{2n}=f_n^2+2f_{n-1}f_n=f_{n+1}^2-f_{n-1}^2\]
\[f_{2n+1}=f_{n+1}^2+f_{n}^2\]
\[3f_n=f_{n-2}+f_{n+2}\]
\[\sum\limits_{k = 1}^n {f_k^2 = {f_n}{f_{n + 1}}} \]
\[f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=(-1)^n\]
\[f_{m+n}=f_mf_{n+1}+f_nf_{m-1}\]
\[\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - k}^k} = {f_{n + 1}}\]
\[\sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k} {f_k} = {f_{2n}}\]
递归定义广义斐波那契数列如下：\(g_1=a\)，\(g_2=b\)，\(g_n=g_{n-1}+g_{n-2}(n\geqslant3)\)，则有
\[g_n=af_{n-2}+bf_{n-1}\]
to be continued……