基本算法---位运算---快速幂

快速幂的实现

洛谷P1226

题目描述

输入b，p，k的值，求b^p mod k的值。其中b，p，k*k为长整型数。

输入格式

三个整数b,p,k.

输出格式

输出“b^p mod k=s”

s为运算结果

输入输出样例

输入

2 10 9

输出

2^10 mod 9=7

 

一道位运算入门经典题，几乎所有讲算法的书籍都有所提及，此处就依照李煜东《算法竞赛————进阶指南》书中指导进行介绍。

 

考虑如下：

对于正整数b，一定可以唯一表示为若干指数不重复的2的次幂的和。

因此，不妨设b在二进制下有k位，其中第i（0<=i<k）位的数字是c_i（c_i=0或1），那么有：

b=c_k-1*2^k-1+c_k-2*2^k-2+…+c₀*2⁰

则必有：

a^b=a^(c_k-1*2^k-1)*a^(c_k-2*2^k-2)*…*a^(c₀*2⁰)

（请参考书中式子，避免误解）

k=[log₂(b+1)]（向上取整），故上式乘积项不多于[log₂(b+1)]

所以仅需求出上式的每一项mod p的值

通过a^2ⁱ=(a^(2^i-1))²每一次不断改变a的值使其变为两倍，及b>>1向右不断移位，并判断b的最末尾是否是1，达到快速取模运算的效果

实际上，该算法时间复杂度应为O(log₂n)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int power(int a,int b,int p){
    int ans=1%p;
    while(b>0){
        if(b&1)ans=(long long)ans*a%p;
               //b&1可以取出b在二进制下最低位
        b>>=1;//移位，比b/2快
        a=(long long)a*a%p;//改变数值
    }
    return ans;
}
int main(){
    int a,b,p;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
    printf("%d^%d mod %d=%d\n",a,b,p,power(a,b,p));
    return 0;
}

 

来源：https://www.cnblogs.com/zach20040914/p/11406253.html