正文共：1500 字 59 图预计阅读时间： 4 分钟

前文推送

23. 特征值和特征向量的应用

23.1 课程内容：求解一阶常系数微分方程

在上一讲我们已经介绍了特征值和特征向量的一种应用，那就是求解差分方程，这一讲，讲解其另一个应用——求解微分方程，当然，首先从一阶常系数微分方程开始讲解。

由该微分方程组，我们可以得到系数矩阵

和求解差分方程的过程一样，我们首先求解特征值和特征向量：这里可以发现一个小技巧，因为 是奇异矩阵（也就是说行向量或者列向量存在线性关系），因此必然有一个特征值为 0 ，而根据特征值的和与矩阵的迹（对角线元素之和）相等，由此可以知道另一个特征值为 -3 。

将两个特征值代入，即得到两个特征向量分别为，。

和差分方程的通解形式类似，只不过在微分方程这儿的通解形式是以指数的形式，即

在这里的话，解就是

现在我们假设初始值条件为

那么就可以根据初始值条件求得系数

观察解的形式，我们发现，实际上和差分方程的情况类似，对于也可以写成的形式，对于上述结果就是

总结一下求解过程就是:

将微分方程组构造成的形式
求解的特征值和特征向量，写出通解形式
如果有初始值条件，则求解出系数

在差分方程的求解过程中，我们已经知道了，我们可以直接由特征值的符号和绝对值的大小来判断方程组的性质，在这里也是一样，引入收敛性和稳态。

收敛性（stability）：即当，当然趋向于0 ，是指当前这个例子的情况，当然也可以是其他固定的值。要满足这样的情况，可以发现所有的特征值实部都是小于 0 的，即
稳态(steady state) : 有一个特征值为 0 ，而其他特征值的实部小于 0 。
而如果有特征值的实部大于 0 ，那么结果是必然发散的，因为 ,

现在我们已经知道了通解的形式，以及特征值与通解性质之间的关联，我们就会考虑，如何将通解用和表示出来。

我们已经知道可以表示 , 代入 ,即

由此得到

那么

如何证明上述等式的右边是成立的呢? 即

这里用到泰勒展开，我们已经知道

同样地对进行泰勒展开，并且我们知道，如果可以对进行对角化的话，那么 ,即可推导：

可以发现括号内部就是的泰勒展开式！

所以等式成立，即

23.2 习题课

2011年习题课

（http://open.163.com/movie/2016/4/R/G/MBKJ0DQ52_MBPD47BRG.html）

对于三阶微分方程，其中是的函数，请写出系数矩阵 , 以及的第一列

解答

首先将三阶微分方程，转化为一阶微分方程的形式，我们可以令，则

根据原方程，我们就可以得到

由此，我们就可以使用之前的方法，求解的特征值和特征向量

由此得到

将各个分别代入求解可以得到特征向量分别为
, ,

由此我们得到的通解形式

对于，有

由此得到

PS：

1. 后台回复“线性代数”，“线代” 等任一关键词获取资源链接

2. 后台回复“联系“, “投稿“, “加入“ 等任一关键词联系我们

3. 后台回复 “红包” 领取红包

零维领域，由内而外深入机器学习

dive into machine learning

微信号：零维领域

英文ID：lingweilingyu

本文分享自微信公众号 - 零维领域（lingweilingyu）。
如有侵权，请联系 support@oschina.cn 删除。
本文参与“OSC源创计划”，欢迎正在阅读的你也加入，一起分享。

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4582359/blog/4384905

标签

易学教程内所有资源均来自网络或用户发布的内容，如有违反法律规定的内容欢迎反馈！
该文章没有解决你所遇到的问题?点击提问,说说你的问题,让更多的人一起探讨吧!