详解斜率优化
斜率优化的话前几个月学过一次，然后感觉会了，结果今天遇到个题，比赛时花了1h硬敲没怼出来，然后又去看了看人家的讲解，加上自己疯狂yy，才发现（原来很水嘛）上次只是略懂皮毛。这是开通博客园的第一篇博客，记录一下斜率优化，顺便为自己以后复习做准备。
前置芝士：
dp（废话）
单调队列
初二数学（起码知道笛卡尔坐标系和一次函数吧QWQ）
一定的数形结合能力
那么我们开始吧。
引例（这里推出今天怼了好久没搞出来的水题）
我们需要将一个文件复制到n个服务器上，这些服务器的编号为S1, S2, …, Sn。
首先，我们可以选择一些服务器，直接把文件复制到它们中；将文件复制到服务器Si上，需要花费ci > 0的置放费用。对于没有直接被复制文件的服务器Si来说，它依次向后检查Si+1, Si+2, …直到找到一台服务器Sj：Sj中的文件是通过直接复制得到的，于是Si从Sj处间接复制得到该文件，这种复制方式的读取费用是j – i（注意j>i）。另外，Sn中的文件必须是通过直接复制得到的，因为它不可能间接的通过别的服务器进行复制。我们设计一种复制方案，即对每一台服务器确定它是通过直接还是间接的方式进行复制（Sn只能通过直接方式），最终使每一台服务器都得到文件，且总花费最小。
60% n<=1000
100% n<=1000000
额，说了一大坨，大概意思就是说每个点要不花费c[i]直接复制，要不找到后面最近的是直接花费的j，然后花费j-i来复制。
然后方程是十分显然的，我们设f[i]表示1到i这些点，i花费c[i]直接复制时的最小费用，然后答案就是f[n]了
方程就是：
f[i]=a[i]+min{f[j]+(i-j)*(i-j-1)/2}（0<=j<i）
口糊一下就是我们枚举上一个直接复制的点j，然后j+1到i-1的点全都往i间接复制，这个显然的等差数列嘛。
好了，到这里成功的拿到了60分的好成绩QWQ
那么都到这了是吧，当然要继续下去喽，拆个柿子：
f[i]=a[i]+min{f[j]+(i^2+j^2-2ij-i+j)/2}
然后发现中间有个ij？完了，妈妈我不会了
显然的，这个玩意我们没有什么数据结构能维护，单调队列也很无能为力。
好了，到这里你肯定以为我就要推举出斜率优化了对不对？
那么事实上，我们先考虑下面的问题（好像无关紧要）
看的出来在坐标系上有许多个点（我们已知它们的坐标），它们的相邻两个之间的斜率是单调递增的（显然）然后我们有一个直线，其中k是它的斜率，问这个直线不断向左平移最先碰到哪个点。
那么同这个图我们看出第4个点是最先碰到的。为什么呢，发现第4个点与它前一个点的斜率小于k，与它后一个点的斜率大于k。然后这是巧合吗？显然不是。
至于证明，诶呀其实我也不太清楚，但是yy一下感觉总是对的，对吧QWQ
那么实现的话就更显然了，判断一下当前点与下一个点的斜率是否大于k，不是就下一个，是的话就是这个点啦。
然后再来一个
那么这一次我们要新加一个点，并且需要保持斜率单调递增（实际上这是个下凸包）那么怎么办呢？
就删点喽，我们从结尾开始，判断结尾与新加进来点的斜率是否小于结尾上个点与结尾的斜率，如果是，那么就把结尾删掉，然后一直删到大于等于。
好了，到了这里实际上已经讲述了斜率优化中去头去尾的操作（就是上面两个东东啊）
先说一嘴，斜率优化本质上还是用单调队列维护，只不过维护的条件是斜率之间比较，然后上面两个问题分别抽象了删头与删尾的过程（也就是维护单调队列的过程）
所以说zjy到这里好像你还是什么都没讲嘛（逃
实际上斜率优化就是把每个枚举的点转换成上面的坐标系中的点，然后对于维护就是上面两个问题（又是一句废话）
那么转换是说转换就转换的吗？
我们想想坐标系上的点需要什么？当然是横纵坐标啦！
于是乎，我们先来看看每个点的横纵坐标是啥。
f[i]=a[i]+min{f[j]+(i-j)*(i-j-1)/2}（0<=j<i）
dp是上面那玩意
然后：
f[i]=a[i]+min{f[j]+(i^2+j^2-2ij-i+j)/2}
我们把只关于i的移到另一边，min先去掉：
f[i]-a[i]-(i^2+i)/2=f[j]+(j^2+j-2ij)/2
额，好像还是看不出啥，把这个只关于i的去掉，然后只关于j的移到左边试试（额，实际上大家都知道柿子就是这么推的，但还是要有点气氛，有点感觉对吧，假装只是试试）
-f[j]-(j^2-j)/2=-2ij/2
负号不好看，取反：
f[j]-(j^2-j)/2=ij
二顺便除一下。
然后这个东西是个啥嘞？
回忆一下斜率表达式：kx=y
发现左边就如y一样，右边如kx一样
那么将计就计，我们设y=f[j]-(j^2-j)/2
那x呢？
我们发现i这个玩意十分的毒瘤（要不是因为它也不至于单调队列都无能为力）所以x就选j吧
那么k就是i喽。
然后通过上面的柿子，我们已经知道了每个点的坐标了吧，是不是就可以转换成上面两个问题呢？可能大家这个时候还是有点迷，但是没关系，我们先看看码吧。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,q[1000007];
long long a[1000007],f[1000007];
double xl(int i,int j){//这个函数是返回斜率滴，返回i与j两个点之间的斜率，由于i与j的横纵坐标都有了，所以就可以求啦。
return ((double)f[i]+(double)i*i/2+(double)i/2-((double)f[j]+(double)j*j/2+(double)j/2))/(i-j);//额这里无脑double了，然后/(i-j)之前一大坨就是纵坐标的差，（i-j）是横坐标的差，相除就是斜率
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
int h=1,t=1;//头与尾
q[1]=0;//0入队for(int i=1;i<=n;i++){
while(h<t&&xl(q[h],q[h+1])<=i) h++;//当我们还有点可以删的时候，并且此时第一个点与第二个点的斜率<=i，那么就删。
//首先为什么<=i呢，因为上面我们已经设k=i了啊，换句话说i就是斜率啊。上面的过程就是在原有的点中，找斜率为i的直线的最先遇到的点，而这个点也就是最优决策点。
//另外再说一下为什么斜率小于（等于时删不删其实无所谓的，因为该删时就一起删，不删时也就选一个）就直接删掉，由于i（也就是斜率）是不断递增的，所以这个点的斜率都小于i了，也必然小于后面的点的斜率。
f[i]
=f[q[h]]+a[i]+(i-q[h])*(i-q[h]-1)/2;//这时从队首转移就行啦
while(h<t&&xl(q[t-1],q[t])>=xl(q[t],i)) t--;//这个就是第二个操作了，由于这个时候f求出来了，那么i这个点的横纵坐标就都有了（j，f[j]-(j^2-j)/2），然后做第二个问题就ok啦
q[++t]=i; //i记得加入哦
}
printf("%lld\n", f[n]);
}
通过这个题似乎可以发现什么
其实所有的斜率优化都是一个套路，首先我们通过dp方程转移得到x，y，k（斜率）
其中k的用途就是来做第一个问题的，就是那个直线不断逼近。
然后x，y是我们得到坐标，由于这个坐标中有些奇奇怪怪的东西（实际上这个坐标就是奇奇怪怪，不对，斜率优化本身就很奇怪）如f数组，也就是我们的方程数组，所以当f[i]没求出来时，i的坐标我们也不知道，但是这个时候我们也不需要用，坐标是我们用来做第二个操作的。
所以对于以前的点，它只有坐标有用了，它的斜率只有在求它的时候才有用（为什么我一直强调这个呢，因为以前我就是不知道这个斜率是干嘛的，所以没搞懂）
大概流程如下：
1.设出动态转移方程
2.通过方程求得坐标以及斜率
3.for循环
4.对于点i，求i的斜率去逼近队列里的点，得到第一个符合条件的
5.此刻通过队首转移f[i]
6.得知f[i]（也许还有其他东西，但是反正我们都知道了），也就是i的坐标得知了，然后把i插入队列里，若不满足凸包（单调性）就删队尾，一直删到满足，把i加入队尾。
注意事项：
1.对于不同的题目，不同的方程，其坐标以及斜率是不一样的（显然），如本题就是i，其他题也许就是2i之类的。
2.对于每道题，我们要考虑其斜率的单调性如何，是单调递增还是单调递减，如本题就是递增。若是递减的话，对于删头尾的操作也有些不同。
好了，那么大概问题都说清楚了，但是还有个问题，就是说这个坐标以及斜率到底该怎么求呢？？？
这里就不推式子了，说一下规律（若有错误，欢迎指正）
1.在方程中，只关于i的或者什么都不关于的我们选择无视，因为这相当于常量，几何意义上属于截距。
2.然后剩下的只有跟j有关和与j和i都有关了。
3.把只与j有关移项
4.这时就发现与j有关的在一边（一坨加减法），与ij有关的（单项式，只有乘）
5.然后只与j有关的是纵坐标，与ij有关的中，i一类为斜率，j一类为横坐标，关于系数尽量归为斜率部分。
哦，还有一个忘说了，斜率有可能为负数，这时就求两点之间的斜率就需要反过来了（若还不理解就自行yy）
关于单调性
斜率优化其实也是单调性的思想，只不过单调的是斜率，对于每个题我们也要判断其斜率是否呈单调性（如一个大一个小一个又大就不合法）若不是的话就只能另寻良机了（我也不知道是什么啊QAQ）
关于时间复杂度
1到n遍历O（n），每个节点入队一次出队一次又是O（n），所以总复杂度就是O（n）+O（n）=O（n）（大家都知道啦）
来源：oschina
链接：https://my.oschina.net/u/4312036/blog/4496467