随机量子化：(4) 从量化金融（Ornstein-Uhlenbeck）到量子场论（关联函数）

学过 Quant 的朋友都知道 Ornstein-Uhlenbeck 过程（这个式子是量化金融的符号，其中的S不是QFT的S）：

$d S_t = -k S_t dt + \sigma d W_t \\$

它的 auto-correlation 是：

如果你会算这个，其实你就基本会算量子场论了。因为，根据随机量子化观点，量子场论在动量空间的随机过程基本就是 Ornstein-Uhlenbeck 过程。

我们先改改符号，写成：

$\frac{\partial \phi}{\partial \tau} = -\Omega^2 \phi + \eta, \quad <\eta^2> = 2 \\$

是不是有点像QFT了。在QFT中，我们经常算关联函数（correlation function），其实就是 Z(J) 展开后的项目，从它可计算各种可观察量。这里的 $<\phi(\tau)\phi(\tau^\prime)>$ 是个两点关联函数。

这里我们算个简单的 0+1 维量子场论。考虑一个 TDHO（Time-dependent Harmonic Oscillator），它的 Lagrangian 是：

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \dot{\phi}^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 \phi^2 \\$

用量子力学方法，或用路径积分，可算出它的关联函数：

是不是有点像之前的结果。下面我们用随机量子化，可以快速算出这个结果。

首先：

$\frac{\delta S}{\delta \phi} = -m \partial_t^2 \phi -m \omega^2\phi \\$

因此根据随机量子化观点，对应的随机过程是：

将 $\phi(t, \tau)$ 做傅里叶变换到 $\tilde\phi(k, \tau)$ ，得到：

$\frac{\partial \tilde\phi}{\partial \tau} = -m k^2 \tilde\phi - m \omega^2 \tilde\phi + \tilde\eta, \quad <\tilde\eta(k,\tau)\tilde\eta(k^\prime,\tau^\prime)> = 2\delta(k+k^\prime)(\tau-\tau^\prime) \\$

于是可代入之间的结果，令 $<\tilde\phi(k,\tau)\tilde\phi(k^\prime,\tau^\prime)> = \delta(k+k^\prime)\frac{1}{\Omega^2(k)} e^{-\Omega^2(k) |\tau-\tau^\prime|} \\$

做傅里叶变换回去，得到：

因此：

$<\phi(t,\tau)\phi(t^\prime,\tau)> = \frac{1}{2\pi} \int dk \frac{1}{\Omega^2(k)} e^{ik(t-t^\prime)} = \frac{1}{2\pi} \int dk \frac{e^{ik(t-t^\prime)}}{m k^2+m \omega^2} = \frac{1}{2 m \omega} e^{- \omega |t-t^\prime|} \\$

与之前的一致，只是做了一个Wick rotation。

可见，从随机量子化做这种简单计算是很方便的。

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4381303/blog/4393825

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