拓扑图论基础：（三）平面图与可平面性
折线·闭折线·简单闭折线
设$A$是平面$\mathbb{E}^2$上的曲线．如果$A$是平面上有限个直线段的并，那么我们称$A$是平面上的一条折线．类似地，我们可以定义闭折线．如果$A$既是简单曲线又是折线，那么我们就称$A$是简单折线；同样地，如果$A$既是简单闭曲线又是折线，那么我们就称$A$是简单闭折线．
引理（简单折线） 设$\Omega$是平面上的一个弧连通的开集．那么$\Omega$内任意两点都可以被$\Omega$内的一条简单折线连接．
证明 任取$x,y\in \Omega$．因为$\Omega$是弧连通的，所以$\Omega$中存在连接$x,y$的简单曲线$A$．对每个$z\in A$，存在以$z$为心的开的圆盘$B(z)\subseteq \Omega$，所以${B(z):z\in A}$是$A$的一个开覆盖．因为连续映射保持紧致性，所以$A$在$\Omega$上是紧致的．所以${B(z):z\in A}$有一个有限子覆盖，记作${B(z_i):i=1,2,\dots,k}$．这样就很容易构造包含于$\cup_{i=1}^kB(z_i)$的、连接$x,y$的折线了．$\blacksquare$
Jordan曲线定理
使用引理（简单折线），很容易证明如下引理．
引理（折线平面嵌入） 任何可平面图都有一个平面嵌入，使得每条边都是简单折线．$\blacksquare$
事实上还可以进一步证明，任何可平面图都有一个直线平面嵌入，也就是每个边都是直线段的嵌入．这个定理证明很复杂，这里不予给出．
定理（直线平面嵌入） 任何可平面图都有一个平面嵌入，使得每条边都是直线段．$\blacksquare$
使用引理（简单折线），还能证明著名的Jordan曲线定理．它的证明极其繁琐复杂，我们在这里不予给出．
Jordan曲线定理 平面$\mathbb{E}^2$上任何简单闭曲线$C$的补是两个区域，一个有界，一个无界．$\blacksquare$
Jordan曲线定理事实上表明，$\mathbb{E}^2$上任何两个只有有限个公共点的简单曲线必然相交偶数次．
需要注意的是：Jordan曲线定理在闭曲面上并不成立．比如球面上的简单闭曲线分出两个有界的区域．环面的经线和纬线都只能分出一个区域．
设$C$是平面$\mathbb{E}^2$上的一条简单闭曲线，由Jordan曲线定理可知，$\mathbb{E}^2\setminus C$是两个区域，其中有界的区域称为$C$的内域，记作${\rm Int}(C)$，无界的区域称为$C$的外域，记作${\rm Ext}(C)$．
特别地，如果$G$是平面图，那么在$F(G)$中有一个面是无界的，我们称之为外面；其他面都是有界的，我们称之为内面．
可平面性
使用Jordan曲线定理可以证明：包含$K_5$-细分(subdivision)和$K_{3,3}$-细分的图都不可平化．事实上，这是可平面性的充要条件，也就是著名的Kuratowski定理，该证明复杂，此处不予呈现．
Kuratowski定理 一个图是可平面的当且仅当它不包含$K_5$-细分和$K_{3,3}$-细分．
与之相关的另一个重要定理就是Wagner定理．
Wagner定理 一个图是可平面的当且仅当它不包含$K_5$-minor和$K_{3,3}$-minor．
原文出处：https://www.cnblogs.com/songningmath/p/10631230.html
来源：oschina
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