算法解析：通过快慢指针判断链表是否存在环并找到环的起点

问题描述

给定一个单向链表，请判断该链表是否存在环；如果存在的话，请找到环的起点。

重要
注1：为了描述方便，后文中除非特殊指定，否则将“单向链表”简称为“链表”
注2：本文以包含头结点的链表为例，如果是一个不含头结点的链表，因为起始位置不同，所以一些变量的定义会受到影响，但不影响本文讨论的解题方法

问题分析

一般情况下，一个链表存在一个尾结点，该结点的next指针为空。然而，当一个链表的尾结点指向了之前的某个前序结点时，链表就出现了“环”：

本题就是要判断一个给定的链表是否存在环，并找到环开始的位置。

注：严格来说，有环链表是没有尾结点的，因为不存在“最后一个结点”。但后文为了描述方便，仍然将指向环首结点的这个结点称为尾结点。

解题方案

可以通过快慢指针来判断一个链表是否有环。

什么是快慢指针

在一个链表的头结点处设置两个指针slow和fast并同时向前移动，规定slow每次移动一个结点，fast每次移动两个结点，这就是快慢指针。

如何利用快慢指针判断链表存在环

如果链表不存在环，则肯定存在一个结点，其next指针为空，所以，只要fast在移动过程中遇到了空结点，则证明链表不存在环。
如果链表存在环，那么，因为fast移动速度比slow要快，所以，一定会在某些时刻，fast会从后面追上slow。问题在于：fast和slow一定会相遇吗？是否存在fast直接跳过slow的情况？答案是一定会相遇，而且每次fast追上slow时，都必定相遇！证明如下：

假设在第n次移动后，fast来到了slow之前，在第n+1次移动后，fast在slow之后，即：
$\begin{cases} fast_n=slow_n-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ fast_{n+1}=slow_{n+1}+1 \ \ \ \ \ \ (2) \end{cases}$
而根据fast和slow的定义：
$\begin{cases} fast_{n+1}=fast_n+2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\\ slow_{n+1}=slow_n+1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{cases}$
将3和4代入2，得到：
$\begin{aligned} fast_n+2&=slow_{n}+1+1\\ fast_n&=slow_n \end{aligned}$
这与等式1产生了矛盾，所以假设不成立。那么，既然fast终将超过slow，又不可能直接跳过它，所以，就只能踩着它过去了。

既然在有环的链表中fast与slow一定会相遇，那就可以利用这个特性来检测有环链表，即：fast遇到空结点，表明链表无环；fast遇到slow结点，表明链表有环。

快慢指针首次相遇的位置

毫无疑问，快慢指针在有环链表中如果一直移动下去，则会反复相遇，而且，因为相遇时两个指针位于同一结点，所以此时它们相对于环的起点位移相同。
假设，环首结点之前的链表长度为$K(K>=0)$，环的长度为$L(L>=2)$，快慢指针相遇时，慢指针走过的总距离为$d(d>K)$，快指针走过的总距离为$2d$。

那么相遇时，根据相对于环的起点位移相同，有如下关系：
$d-K=(2d-K)-mL ~~~~(d>K,m\in N^+)$
$mL$其实就是完整跑完$n$次环的距离。上式整理得到：
$d=mL ~~~~(d>K,m \in N^+)$
那么，求首次相遇的位置也就是找满足条件的最小$d$或是最小$m$。因为$d>K$，也即$mL>K$，那么，有如下三种情况：

• $L>K$，则$m=1$，即$d=L$，因为链表长度为$K+L$，所以相遇位置在慢指针首次进入环并到访尾结点之前，不包括环首结点；如果$K=0$，则相遇位置就是尾结点；
• $L=K$，则$m=2$，即$d=2L$，因为链表长度为$K+L$即$2L$，所以相遇位置在慢指针首次到访尾结点时；
• $L<K$，则$m=floor(K/L)+1$，即$d=(floor(K/L)+1)*L=floor(K/L)*L+L$因为$floor(K/L)*L<K$，所以相遇位置在慢指针首次进入环并到访尾结点之前，包括环首结点；

综上，快慢指针首次相遇的位置，一定是在慢指针首次进入环和尾结点之间的位置（包括尾结点）。

如何找到环的起点

通过上面的步骤，找到快慢指针首次相遇的结点后，将该结点标记为p2，并将链表头结点标记为p1。如果p1和p2同时向前移动，每次各前进一个结点，它们未来会相遇吗？

由于两个结点移动速度相同，那么当它们都位于一条没有分叉的路上时，就不可能相遇，所以，唯一的相遇机会就是p1首次来到环首结点之前，p2也刚好来到了尾结点，这样在下一时刻，它们两个就可以在环首结点相遇了。

现在延用上面步骤中对$K,L$的定义，并重新定义$d$为p1到p2的直接距离（其实就是上面的min(d)，即首次相遇的位置）。假设p1和p2能够相遇，则相遇时p1走动的距离为$K$，p2走动的距离也为$K$

那么，相遇的条件可以定义为：p2在走动$K$距离后位于尾结点，写成等式如下：
$K+(d-K)=nL~~~(d>K, n\in N^+)$
$(d-K)$是初始时p2到环首结点的距离。等式变换后：
$d=nL~~~(d>K,n\in N^+)$
由于当前是基于前面快慢指针相遇的情况来讨论的，所以前面的结论就是当前的已知条件；又因为$d$就是前面的$min(d)$，所以，$nL$等于$mL$；又因为$n$和$m$的定义域相同，所以存在$n$，且$n=m$。

综上，假设成立，所以p1和p2将相遇在环的起点。

来源：CSDN

作者：游离的码农

链接：https://blog.csdn.net/weixin_43969368/article/details/104714775