多元函数是一元函数的推广，对于多元函数我们将着重讨论二元函数.
定义域的变化：数轴上的点集
平面上的点集
点与点集的关系：内点，外点，界点；聚点，孤立点，外点.
上的完备性定理
平面点列收敛的定义
设
为平面点列，
为一固定点.若对任给的正数
，存在正整数N，使得当n>N时，有
,则称点列{Pn}收敛于点P哦，记作
或
柯西准则
平面点列{Pn}收敛的充要条件是：任给正数
，存在正整数N，使得当n>N时，对一切正整数p，都有
闭域套定理
设{Dn}是
中的闭域列，它满足：
则存在唯一的点
推论 对上述闭域套{Dn}，任给
，存在
，当n>N时，有
聚点定理
设
为有界无限点集，则E在中至少有一个聚点.
致密性定理
有界无限点列
必存在收敛子列
有界覆盖定理
设
为一有界闭域，
为一开域族，它覆盖了D（即
）则在
中必存在有限个开域
它们同样覆盖了D（即
）.
二元函数的极限
二元函数极限的定义
设f为定义在
上的二元函数，Po为D的一个聚点，A是一个确定的实数.若对任给正数那个村，总存在某正数
，使得当
时，都有
则称f在D上当
时以A为极限，记作
在对于
不致产生误解时，也可简单地写作
当
分别用坐标
表示时，也可写作
的充要条件是：对于D的任一子集E，只要Po是E的聚点，就有
设
,Po是
的聚点，若
不存在，则
也不存在.
设
,Po是它们的聚点，若存在极限
但
则
不存在.
极限
存在的充要条件是：对于D中任一满足条件
且
的点列{Pn}，它所对应的数列
都收敛.
二元函数非正常极限定义
设D为二元函数f的定义域，
是D的一个聚点，若对任给正数M，总存在点Po的一个邻域，使得当
时，都有f(P)>M，则称f在D上当
时，存在非正常极限
，记作
或
仿此可类似的定义
重极限
极限
中，两个自变量x,y同时以任何方式趋于
,这种极限也称为重极限.
累次极限
形如
若f(x,y)在点
存在重极限
与累次极限
则它们必相等.
若累次极限
和重极限
都存在，则三者相等.
若累次极限
与
存在但不相等，则重极限
必不存在.
来源：CSDN
作者：Galois_Mar
链接：https://blog.csdn.net/qq_45011547/article/details/104667243