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浅谈几种筛法

由 送分小仙女□ 提交于 2020-03-01 06:35:43

杜教筛

问题一般是求\[\sum_{i=1}^{n}f(i)\]这样的式子。

然后我们有一种很妙的想法，那就是构造两个积性函数\(h,g\)，使得\(h=f*g\)

然后尝试推一下\(h\)的前缀和，发现：
\[ \sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)\cdot f(\frac{i}{d})\\=\sum_{d=1}^{n}g(d)\cdot\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f({i}) \]

如果记\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)，那么就可以写成：\[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{d=1}^{n}g(d)\cdot S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\]

把\(d=1\)提出来，得到我们想要的式子：\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^{n}h(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d)\cdot S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\]

那么如果\(h\)的前缀和我们可以在一个比较优秀的时间复杂度内求出，则后面那一部分的时间复杂度在进行整除分块后，可以达到一个优秀的时间复杂度\(O(n^{\frac{2}{3}})\)。

一些题目
  1. 51nod1244

  • 题意：

    求\[\sum _{i=a}^{b} \mu(i)（a\le b\le 10^{10}）\]

  • 解法一：

    直接套用上面的卷积。我们知道\[\mu * 1=\epsilon\]

    且\(1,\epsilon\)都是积性函数，所以可以直接得到：\[\displaystyle S(n)=1 - \sum _{i=2}^{n} S(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)\]

  • 解法二：

    还是来推一下式子，其实思路是一样的，都用到了\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\]这条式子。
    \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i}\mu(d)=1\\ \therefore \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor}\mu(j)=1\]
    提出\(j=1\)，得到\[\sum _{i=1}^{n} \mu(i)=1-\sum_{i=2}^{n} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor}\mu(j)\]然后就转化为上面的式子。

  • Trick

    这里有几个需要注意的地方。一个是我们可以预处理一些\(\le \sqrt{n}\)的前缀和来加快速度（事实上，根据唐教的分析，如果不预处理，时间复杂度是\(O(n^{\frac{3}{4}})\)的），另外一个就是hash时候的技巧，与\(Min25\)筛不同，杜教筛的筛法需要用map记录一些已经算过的前缀和来保证时间复杂度，而这个时候我们其实可以不用map，而是用两个表去处理，按照是否\(\le \sqrt{n}\)来处理。时间复杂度优秀许多，具体参见代码。

\(code_1\)（用map储存）：

注意map <LL,LL> :: iterator iter，iter = h.find(x)，iter->second的用法

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <map>

#define F(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)

const int B = 5000000;

typedef long long LL;

using namespace std;

LL a, b, S[B + 1], mu[B]; int z[B];
bool bz[B + 1];

map <LL, LL> H;
map <LL, LL> :: iterator iter;

void Init() {
    mu[1] = 1;
    F(i, 2, B) {
        if (!bz[i])
            z[++ z[0]] = i, mu[i] = - 1;
        F(j, 1, z[0]) {
            LL x = 1ll * z[j] * i;
            if (x > B) break;
            bz[x] = 1;
            if (i % z[j] == 0) {
                mu[x] = 0;
                break;
            }
            mu[x] = mu[z[j]] * mu[i];
        }
    }
    F(i, 2, B)
        mu[i] += mu[i - 1];
}

LL Solve(LL x) {
    if (x <= B) return mu[x];
    iter = H.find(x);
    LL ans = iter -> second; //我竟然第一次知道要这样用。。。
    if (iter == H.end()) {
        ans = 0;
        for (LL i = 2, j; i <= x; i = j + 1) {
            j = x / (x / i);
            ans += (j - i + 1) * Solve(x / i);
        }
        ans = 1 - ans;
        H[x] = ans;
    }
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%lld%lld", &a, &b);

    Init();
    
    printf("%lld\n", Solve(b) - Solve(a - 1));
}

\(code_2\)（推荐储存方式）：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <map>

#define F(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)

const int B = 5000000;

typedef long long LL;

using namespace std;

LL a, b, n, S[B + 1], vis[B / 100], mu[B];
int z[B]; bool bz[B + 1];

map <LL, LL> H;
map <LL, LL> :: iterator iter;

void Init() {
    mu[1] = 1;
    F(i, 2, B) {
        if (!bz[i])
            z[++ z[0]] = i, mu[i] = - 1;
        F(j, 1, z[0]) {
            LL x = 1ll * z[j] * i;
            if (x > B) break;
            bz[x] = 1;
            if (i % z[j] == 0) {
                mu[x] = 0;
                break;
            }
            mu[x] = mu[z[j]] * mu[i];
        }
    }
    F(i, 2, B)
        mu[i] += mu[i - 1];
}

LL Solve(LL x) {
    if (x <= B) return mu[x];
    LL y = n / x;
    if (!vis[y]) {
        LL ans = 0;
        for (LL i = 2, j; i <= x; i = j + 1) {
            j = x / (x / i);
            ans += (j - i + 1) * Solve(x / i);
        }
        vis[y] = ans = 1 - ans;
    }
    return vis[y];
}

LL Doit(LL x) {
    memset(vis, 0, sizeof vis), n = x;
    return Solve(x);
}

int main() {
    scanf("%lld%lld", &a, &b);

    Init();
    
    printf("%lld\n", Doit(b) - Doit(a - 1));
}

Min25筛

也是一种很优秀的求积性函数前缀和的筛法。据zzq大神说它的时间复杂度是\(O(\frac{n}{log_nlog_n})\)？？

为了下面叙述方便，记\(P\)表示素数集合，记\(P_i\)表示第\(i\)个质数，其中\(|P|=\sqrt{n}\)。

此类问题的\(F(i)\)一般满足：

\[\begin{cases} f(p)是一个关于p的多项式\ \ \ \ p\in P\\ f(p^c)可以快速计算出\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ otherwise\end{cases}\]

则min25筛的想法是把所有的\(F(i)\)的和分成质数和合数去考虑，即总的贡献 = 质数的贡献 + 合数的贡献，下面讲解两种方法：

递归版本

那么先考虑质数的贡献，即\(i\)为质数，且保证括号内条件成立时的情况下的贡献。

若记\(min(p)\)表示\(i\)的最小质因子以及\[g(n,j)=\sum_{i=1}^n[i\in P, min(p)\gt P_j]F(i)\]

则由定义，不难推出\[g(n,j)=\begin{cases} g(n,j-1)&{P_j}^2\gt n\\ g(n,j-1)-F(P_j)[g(\frac{n}{P_j},j-1)-\sum_{i=1}^{j-1}F(P_i)]&{P_j}^2\le n\end{cases}\]

其中\(g(n,0)\)初值比较难理解。事实上，我们观察这整一个递推过程，实际上很类似埃氏筛，每一次都把一个\(P_j\)的贡献给删去，最终筛到\(\sqrt{n}\)时，保证了还没有被质数筛去的数在\(n\)范围内一定不是合数。

那么继续考虑埃氏筛，实际上一开始我们是把所有数都看成质数的。那么\(g(n,0)\)的初值也就不难想了，可能是某个与\(n\)有关的多项式，例如在求质数个数中\(f(i)=1\)，那么\(g(n,0)=n-1\).

现在回到原问题\[\sum_{i=1}^nF(i)\]上，我们要求质数的贡献，实质上就是\(g(n,|P|)-g(P_{j-1},j-1)\)

如果记\[S(n,j)=\sum_{i=2}^nF(i)[i的最小质因子大于等于P_j]\]

那么可以推出\[S(n,j)=g(n,|P|)-\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)+\sum_{k\ge j}^{|P|}\sum_{e}(f({P_k}^e)S(\frac{n}{{P_k}^e},k+1)+f({P_k}^{e+1}))\]

事实上，后面那一部分式子就是合数的贡献，枚举质数\(k\)，次数\(e\)，然后与求\(g\)的思想是完全类似的，注意要加上一个\(f({P_k}^{e+1})\)就好了.

注意，这里我们所说的递归版本，实际上指的是\(s\)的求法是用递归，实际实现中，\(g\)的求法可以不用递归，具体请看代码，并且求\(s\)时可以不用记忆化，时间复杂度依旧优秀。

递推版本

实际上递推版本比递归更慢。因为它求的是\(\sqrt{n}\)个\(\frac{n}{i}\)的前缀和。

具体细节与递归版本类似。我们直接设\[S'(n,i)=\sum_{i=2}^nF(i)[i的最小质因子不小于p_i或i是质数]\].

可以得到：\[S'(n,i)=\left\{ \begin{array}{} S'(n,i+1)+\sum_{e\geq 1且\ p_i^{e+1}\ \leq n}\ \ F(p_i^e)[S(\lfloor\frac{n}{p_i^e}\rfloor,i+1)-g(p_i,i)]+F(p_i^{e+1})& &{p_i^2\leq n} \\ S'(n,i+1)& &{p_i^2\geq n} \end{array}\right.\]

初值\(S'(n,|P|+1)=g(n,|P |)\)

一些题目

  1. LOJ#6235. 区间素数个数

    事实上就是求\(1\sim n\)素数，这个可以直接通过求的\(g\)来得到，连\(s\)都不用求。

    注意实现的时候只需要保存\(\frac{n}{i}\)的\(\sqrt{n}\)个值即可。

#include <bits/stdc++.h>

#define F(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)

const int N = 700000;

using namespace std;

long long n, m, id1[N], id2[N], w[N], g[N], z[N], sqr;
bool bz[N];

int main() {
    scanf("%lld", &n), sqr = int(sqrt(n));

    F(i, 2, sqr) {
        if (!bz[i])
            z[++ z[0]] = i, bz[i] = 1;
        F(j, 1, z[0]) {
            if (z[j] * i > sqr) break;
            bz[z[j] * i] = 1;
            if (i % z[j] == 0) break;
        }
    }

    for (long long i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {
        j = n / (n / i); w[++ m] = n / i;
        if (w[m] <= sqr) id1[w[m]] = m; else id2[n / w[m]] = m;
        g[m] = w[m] - 1;
    }
    F(j, 1, z[0])
        for (int i = 1; i <= m && z[j] * z[j] <= w[i]; i ++) {
            int k = (w[i] / z[j] <= sqr) ? id1[w[i] / z[j]] : id2[n / (w[i] / z[j])];
            g[i] -= g[k] - (j - 1);
        }

    printf("%lld\n", g[1]);
}
  1. #6053. 简单的函数

注意把\(f(p)=p-1\)拆成两个函数\(g(p)=p,h(p)=1\)，然后相减.

这样可以保证所求是积性函数.

#include <bits/stdc++.h>
#define F(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)

typedef long long LL;

const int N = 3e5;
const LL ny = 5e8 + 4, Mo = 1e9 + 7;

using namespace std;

bool bz[N]; int id1[N], id2[N], sqr;
LL g[N], h[N], z[N], w[N], s[N], n, m;

LL S(LL x, int y) {
    LL k = x <= sqr ? id1[x] : id2[n / x];
    LL sum = (g[k] - h[k] - (s[y - 1] - (y - 1)) + (y == 1) * 2) % Mo;
    for (LL i = y; i <= z[0] && z[i] * z[i] <= x; i ++)
        for (LL e = 1, p = z[i]; p * z[i] <= x; e ++, p *= z[i])
            sum = (sum + (z[i] ^ e) % Mo * S(x / p, i + 1) + (z[i] ^ (e + 1))) % Mo;
    return sum;
}

int main() {
    scanf("%lld", &n), sqr = int(sqrt(n));
    F(i, 2, sqr) {
        if (!bz[i])
            z[++ z[0]] = i, s[z[0]] = (s[z[0] - 1] + i) % Mo;
        F(j, 1, z[0]) {
            if (z[j] * i > sqr) break;
            bz[z[j] * i] = 1;
            if (i % z[j] == 0) break;
        }
    }
    for (LL i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {
        j = n / (n / i); w[++ m] = n / i;
        if (w[m] <= sqr) id1[w[m]] = m; else id2[n / w[m]] = m;
        g[m] = (((w[m] + 2) % Mo * ((w[m] - 1) % Mo)) % Mo * ny) % Mo;
        h[m] = (w[m] - 1) % Mo;
    }
    F(j, 1, z[0])
        for (LL i = 1; i <= m && z[j] * z[j] <= w[i]; i ++) {
            LL k = (w[i] / z[j] <= sqr) ? id1[w[i] / z[j]] : id2[n / (w[i] / z[j])];
            h[i] = (h[i] - (h[k] - (j - 1))) % Mo;
            g[i] = (g[i] - z[j] * (g[k] - s[j - 1])) % Mo;
        }

    printf("%lld\n", n == 1 ? 1 : ((S(n, 1) + 1) % Mo + Mo) % Mo);
}

两种版本的时间复杂度都是\(O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{log(\sqrt n)})\)。经实测，递归版会稍微快一些。

  1. jzoj6027. 【GDOI2019模拟2019.2.23】签到

经过一系列的容斥后，可以计算。

比如说，要求\(1\sim n\)中不是\(a_i(1\le i\le m)\)的倍数，但要是\(b\)的倍数。

我们就把\(n/b\)之后进行计算。

再譬如，如果在此基础上，还要求\(f(x)=1\)，我们就要特殊考虑了，必须要考虑的是\(b\)的质因数情况，因为我们还是在\(n/b\)的基础上进行计算，经过一番特殊处理后还是可以做出来，只要透彻理解质数和合数的计算即可。

#include <bits/stdc++.h>

#define F(i, a, b) for (LL i = a; i <= b; i ++)
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof a)
#define get getchar()

typedef long long LL;

const LL M = 3e5 + 10;

using namespace std;

LL n, m, b, sqr, MAX, top, L, r[61], vis[M], s[M], S[M];
LL a[M], g[M], w[M], bz[M], z[M], id1[M], id2[M], R[M];
LL S0, S1, S2, S3; bool flag;

void Re(LL &x) {
    char c = get; x = 0; LL t = 1;
    for (; !isdigit(c); c = get) t = (c == '-' ? - 1 : t);
    for (; isdigit(c); x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = get); x *= t;
}

void Init() {
    Re(n), Re(m), Re(b);
    F(i, 1, m) Re(a[i]);
    F(i, 1, 60) Re(r[i]);
    r[0] = 1;
}

void GetPrime() {
    mem(bz, 0), z[0] = 0, mem(vis, 0), top = 0;
    F(i, 2, sqr) {
        if (!bz[i]) {
            z[++ z[0]] = i, s[z[0]] = s[z[0] - 1] + 1;
            vis[z[0]] = 1;
            while (top < m && a[top] < i) top ++;
            if (a[top] == i)
                s[z[0]] --, vis[z[0]] = 0;
        }
        F(j, 1, z[0]) {
            if (z[j] * i > sqr) break;
            bz[z[j] * i] = 1;
            if (i % z[j] == 0) break;
        }
    }
}

LL dg(LL x, LL y, LL n, LL t) {
    if (z[y] > x) return 0;
    LL k = (x <= sqr) ? id1[x] : id2[n / x];
    LL sum = (g[k] - s[y - 1]) * r[t];
    F(k, y, z[0]) {
        if (z[k] * z[k] > x) break;
        if (vis[k])
            for (LL s = z[k], cnt = 1; s * z[k] <= x; s *= z[k], cnt ++)
                if (!t) sum += dg(x / s, k + 1, n, t) + 1; else {
                    if (r[cnt])
                        sum += dg(x / s, k + 1, n, t);
                    sum += r[cnt + 1];
                }
    }
    return sum;
}
LL DG(LL x, LL y, LL n,  LL res) {
    if (z[y] > x) return 0;
    LL k = (x <= sqr) ? id1[x] : id2[n / x], sum;
    if (res > 1) sum = 0; else
    if (res == 1) sum = (x >= MAX); else
        sum = (g[k] - s[y - 1]);
    F(k, y, z[0]) {
        if (z[k] * z[k] > x) break;
        if (vis[k]) {
            for (LL s = z[k], cnt = 1; s * z[k] <= x; s *= z[k], cnt ++) {
                if (r[cnt + R[k]])
                    sum += DG(x / s, k + 1, n, res - !r[R[k]]);
                if ((res - !r[R[k]]) == 0)
                    sum += r[cnt + R[k] + 1];
            }
            if (!r[R[k]]) break;
        }
    }
    return sum;
}

LL Solve(LL n, LL q) {
    sqr = q < 2 ? LL(sqrt(n)) : LL(sqrt(max(n, b))), L = 0, GetPrime();
    for (LL i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {
        j = n / (n / i); w[++ L] = n / i;
        if (w[L] <= sqr) id1[w[L]] = L; else id2[n / w[L]] = L;
        g[L] = w[L] - 1;
    }
    F(j, 1, z[0])
        for (LL i = 1; i <= L && z[j] * z[j] <= w[i]; i ++) {
            LL k = (w[i] / z[j]) <= sqr ? id1[w[i] / z[j]] : id2[n / (w[i] / z[j])];
            g[i] -= (g[k] - (j - 1));
        }
    LL j = m;
    F(i, 1, L) {
        while (a[j] > w[i]) j --;
        g[i] -= j;
    }
    if (q <= 1)
        return dg(n, 1, n, q);
    else {
        LL x = b, res = 0;
        F(i, 1, z[0]) {
            while (x % z[i] == 0)
                R[i] ++, x /= z[i];
            s[i] = s[i - 1] + r[R[i] + 1] * vis[i];
            S[i] = S[i - 1] + vis[i];
            if (vis[i] * (!r[R[i]]))
                res ++, MAX = z[i];
        }
        if (x > 1) {
            z[++ z[0]] = x, vis[z[0]] = 1;
            while (top < m && a[top] < x) top ++;
            if (a[top] == x) vis[z[0]] = 0;
            s[z[0]] = s[z[0] - 1] + r[2] * vis[z[0]];
            S[z[0]] = S[z[0] - 1] + vis[z[0]];
            if (vis[z[0]] * (!r[1]))
                res ++, MAX = x;
        }
        LL j = z[0];
        F(i, 1, L) {
            while (j > 0 && z[j] > w[i]) j --;
            g[i] = (g[i] - S[j]) * (r[1] != 0) + s[j];
        }
        return DG(n, 1, n, res) + (res == 0);
    }
}

int main() {
    freopen("qiandao.in", "r", stdin);
    freopen("qiandao.out", "w", stdout);

    Init();
    S0 = Solve(n, 0);
    flag = 1;
    F(i, 1, m)
        if (b % a[i] == 0) { flag = 0; break; }
    S1 = flag == 0 ? 0 : Solve(n / b, 0) + (b > 1);

//  printf("%lld\n", S0);
//  printf("%lld\n", S1);

    S2 = Solve(n, 1);
    S3 = flag == 0 ? 0 : Solve(n / b, 2);
//  printf("%lld\n", S2);
//  printf("%lld\n", S3);

    printf("%lld\n", n - (n - S0 + S1 + S2 - S3));
}
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