动态规划之数字三角形举一反三

动态规划(一)
例题一、数字三角形(POJ1163)
在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。
三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99
输入格式：
5 //三角形行数。下面是三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求输出最大和
解题思路：
用二维数组存放数字三角形。D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)MaxSum(r, j) : 从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。
问题：求 MaxSum(1,1)
典型的递归问题。
D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形：
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r ＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) }+ D(r,j)
下面是简单的递归，但存存大量的重复计算。

#include<iostream> 
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max];
int n;
int MaxSum(int i,int j){
	if(i==n-1) return D[i][j];
	int y=MaxSum(i+1,j);
	int z=MaxSum(i+1,j+1);
	if(z>y)y=z;
	return y+D[i][j];
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;++i)
		for(int j=0;j<i+1;++j)
			cin>>D[i][j];
	for(int i=0;i<n;++i){
		for(int j=0;j<i+1;++j)
			cout<<D[i][j]<<"  ";
		cout<<endl;
	}		
	cout<<MaxSum(0,0)<<endl;
	return 0;
}

为什么超时？
 回答：重复计算
如果采用递归的方法，深度遍历每条路径，存在大量重复计算。则时间复杂度为 2 n ,对于 n = 100行，肯定超时。
改进：如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。那么可以用O(n 2 )时间完成计算。因为三角形的数字总数是 n(n+1)/2
数字三角形的记忆递归型动归程序：

#include<iostream> 
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max];
int Sum[Max][Max]={-1,};//需要一个数组保存计算过的结果，初始化成-1, 
int n;
int MaxSum(int i,int j){
	if(i==n-1) return D[i][j];
	int y=Sum[i+1][j];	
	int z=Sum[i+1][j+1];
	if(y==-1)y=MaxSum(i+1,j);
	if(z==-1)z=MaxSum(i+1,j+1);
	if(z>y)y=z;
	Sum[i][j]=y+D[i][j];
	return Sum[i][j];
}
int main(){	
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;++i)
		for(int j=0;j<i+1;++j){
			cin>>D[i][j];
			Sum[i][j]=-1;	
		}
	cout<<MaxSum(0,0)<<endl;
 	for(int i=0;i<n;++i){ 
		for(int j=0;j<i+1;++j)
			cout<<D[i][j]<<"  ";
		cout<<endl;
		}
	for(int i=0;i<n;++i){ //查看计算过程
		for(int j=0;j<i+1;++j)
			cout<<Sum[i][j]<<"  ";
		cout<<endl;
		}
	return 0;
}

递归转递归：

#include<iostream> 
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max];
int Sum[Max][Max]={-1,};//需要一个数组保存每一步计算过的结果, 
int n;
int main(){	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<i+1;++j){
			cin>>D[i][j];
			Sum[i][j]=D[i][j];	
		}
	//cout<<MaxSum(0,0)<<endl;
 	for(int i=1;i<=n;++i){ 
		for(int j=1;j<i+1;++j)
			cout<<D[i][j]<<"  ";
		cout<<endl;
		}
	for(int i=n;i>1;--i){ //计算并查看过程
		for(int j=1;j<i+1;++j){
			int x=Sum[i][j], y=Sum[i][j+1];
			if(x<y)x=y;
			Sum[i-1][j]+=x; 
			cout<<Sum[i][j]<<"  ";
			}
		cout<<endl;
		}
	cout<<Sum[1][1]<<endl;
	return 0;
}

空间优化：没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上递推，那么只要一维数组maxSum[100]即可,只要存储一行的MaxSum值就可以。

#include<iostream> 
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max];
int Sum[Max];//需要一个数组保存每一步计算过的结果, 
int n;
int main(){	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<i+1;++j){
			cin>>D[i][j];
		}
	//cout<<MaxSum(0,0)<<endl;
 	for(int i=1;i<=n;++i){ 
		for(int j=1;j<i+1;++j)
			cout<<D[i][j]<<"  ";
		cout<<endl;
		}
	for(int i=1;i<=n;++i) //将最后一复制到一维数组； 
		Sum[i]=D[n][i];
	for(int i=n;i>1;--i){ //计算并查看过程
		for(int j=1;j<i+1;++j){
			int x=Sum[j], y=Sum[j+1];
			if(x<y)x=y;
			Sum[j]=x+D[i-1][j]; 
			cout<<Sum[j]<<"  ";
			}
		cout<<endl;
		}
	cout<<Sum[1]<<endl;
	return 0;
}

这还没完，如果原三角形数组的元素不用保留，一维数组也不要了，直接就在原数组中记录计算并保存结果

#include<iostream> 
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max]; 
int n;
int main(){	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<i+1;++j){
			cin>>D[i][j];
		}
	for(int i=n;i>1;--i){ //计算并查看过程
		for(int j=1;j<i+1;++j){
			int x=D[i][j], y=D[i][j+1];
			if(x<y)x=y;
			D[i-1][j]+=x; 
			cout<<D[i][j]<<"  ";
			}
		cout<<endl; 
		}
	cout<<D[1][1]<<endl;
	return 0;
}

来源：CSDN

作者：野人时代

链接：https://blog.csdn.net/qq_35076612/article/details/104560009