数学建模上课（一）推导万有引力定律

数学建模上课（一）推导万有引力定律

开始的开始

万有引力的推导，是一个伟大而且美丽的过程，他承接着前人的研究成果，为后世开辟的新的天地。

一顿操作

牛顿三定律

这里主要用到牛顿第二定律
$\vec{F} = m\vec{a}$

开普勒三定律

我们先来看一看开普勒三定律可以得出什么结论：

1、开普勒第一定律：

行星围绕太阳转动轨迹是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

把恒星行星放到极坐标中，恒星为原点。
$r = \frac{p}{1-ecos\theta}$
其中焦参数为
$p=\frac{b^2}{a}$
离心率为
$e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$
椭圆长轴a，短轴b.

设
$\left\{\begin{matrix} r=r(t)\\ \theta=\theta(t) \end{matrix}\right.$

对于r求导，得到径向速度$\dot{r}$
$\frac{dr}{dt}=\dot{r}$
径向加速度$\ddot{r}$
$\frac{d^2r}{dt^2}=\ddot{r}$
对于$\theta$求导，得到角速度$\omega$
$\frac{d\theta}{dt}=\omega$
角加速度$\dot{\omega}$
$\frac{d\omega}{dt}=\dot{\omega}$

换一种坐标系，笛卡尔坐标系，行星坐标为
$\vec{r}=(rcos\theta,rsin\theta)$
所以
$\vec{F} = m\vec{a}=\frac{d\vec{r}^2}{d^2t}$
自然分别求 $rcos\theta$和$rsin\theta$的二阶导得到x，y方向上的加速度。
$\frac{d^2(rcos\theta)}{dt^2}=(\ddot{r}-r\omega ^2)cos\theta - (2\dot{r}\omega+r\dot{\omega})sin\theta$
$\frac{d^2(rsin\theta)}{dt^2}=(2\dot{r}\omega)cos\theta+(\ddot{r}-r\omega^2)sin\theta$
设方向向量为
$\vec{r_{0}}=(cos\theta,sin\theta)$
可以得到
$\vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=(\ddot{r}-r\omega^2)\vec{r_{0}}+\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}\vec{\dot{r_0}}$

那么问题变得清楚多了，只需要求$\ddot{r}-r\omega^2$和$\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}$即可。
接下来我们看看开普勒第二第三定律能给我们带来什么结果。

2、开普勒第二定律：

单位时间里，极径扫过的椭圆面积为常数。
$\frac{dA}{dt}=常数$

求$\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}$

使用微积分的思想
$dA=\frac{1}{2}r^{2}d\Theta$
可以算出
$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2}\omega$
面积A我们都可以计算或者测量出来
$A=\pi ab$
T为绕太阳一周花的时间
积分得到
$\pi ab = \int_{0}^{T}dA=\int_{0}^{T}\frac{dA}{dt}dt=\frac{1}{2} r^{2}\omega T$
所以得到了
$r^{2}\omega = \frac{2\pi ab}{T}$
既然是常数，那么自然可以求一波导
$(r^2\omega)'=2r\dot{r}\omega + r^2\dot{\omega}=0$
化简得到
$2\dot{r}\omega + r\dot{\omega}=0$
于是，我们求出了刚刚开普勒第一定律立下的两个目标之一
$\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}=0$
只剩下了
$\vec{a}=(\ddot{r}-r\omega^2)\vec{\dot{r_0}}$

求$\ddot{r}-r\omega^2$

现在，开始下一步求$\ddot{r}-r\omega^2$.
接下来的操作我承认是非常骚的，因为我是真的没有想到可以这么玩。我能做的只是跟着公式一步一步往下走，看看能得出啥就写啥，这么往下撞，这这里表达一下对大佬的崇拜。

加速度的值$\ddot{r}-r\omega^2$来自$rcos\theta$(或$rsin\theta$)求二阶导，椭圆方程$p=r(1-ecos\theta)$恰好有$rcos\theta$项。所以对椭圆方程两边求导即可得到$\ddot{r}-r\omega^2$

得到
$0=\ddot{p}=\frac{\ddot{r}-r\omega^2}{r}p+r\omega^2$
所以
$\ddot{r}-r\omega^2=-\frac{r^2\omega^2}{p}$
前面我们求出了$r^2\omega=\frac{2\pi ab}{T}$
那么
$\ddot{r}-r\omega^2 =-\frac{r^2\omega^2}{p} =-（r^2\omega）^2\frac{1}{r^2}\frac{a}{b^2}=-4\pi^2\frac{a^3}{T^2}\frac{1}{r^2}$
看到这里，我们就可以进入开普勒第三定律了。

3、开普勒第三定律：

椭圆的半长轴a的三次方比运行周期T的二次方成常数。
$\frac{a^{3}}{T^{2}}=常数$
还是使用牛顿第二定律
$\vec{F} =m\vec{a} =m(\ddot{r}-r\omega^2)\vec{r_0} =-m(4\pi^2\frac{a^3}{T^2})\frac{1}{r^2}\vec{r_0} =-(\frac{4\pi^2}{M}\frac{a^3}{T^2})\frac{Mm}{r^2}\vec{r_0}$

最后

设
$G = (\frac{4\pi^2}{M}\frac{a^3}{T^2})$
得
$\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^2}\vec{r_0}$

成功推导。
(•͈ᴗ•͈ૢૢ)❊⿻*

来源：CSDN

作者：ML_H

链接：https://blog.csdn.net/qq_45507796/article/details/104455650