动手学深度学习之多层感知机

多层感知机

多层感知机的基本知识

深度学习主要关注多层模型。本节将以多层感知机(multilayer perceptron,MLP)为例，介绍多层神经网络的概念。

隐藏层

下图展示了一个多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。

###### 表达公式具体来说，给定一个小批量样本$X\in R^{n\times d}$，其批量大小为$n$，输入个数为$d$。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为$h$。记隐藏层的输出(也称为隐藏层变量或隐藏变量)为$H$，有$H\in R^{n\times h}$。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为$W_h\in R^{d\times h}$和$b_h\in R^{1\times h}$，输出层的权重和偏差参数分别为$W_o\in R^{h\times q}$和$b_o\in R^{1\times q}$。

先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出 $O\in R^{n\times q}$ 的计算为
$\begin{aligned} H&=XW_h+b_h\\ O&=HW_o+b_o \end{aligned}$ 也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到
$O=(XW_h+b_h)W_o+b_o=XW_hW_o+b_hW_o+b_o$ 从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为 $W_hW_o$ ，偏差参数为 $b_hW_o+b_o$ 。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

激活函数

上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换(affine transformation)，而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数(activation function)。
下面介绍几个常用的激活函数：

import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel(name + '(x)')
    plt.show()

ReLU函数
ReLU(rectified linear unit)函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素 $x$ ，该函数定义为
$ReLU(x)=max(x,0)$ ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。

x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')

y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')

Sigmoid函数
sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：
$sigmoid(x)=\dfrac{1}{1+exp(-x)}$ 依据链式法则，sigmoid函数的导数
$sigmoid^{\prime}(x)=sigmoid(x)(1-sigmoid(x))$ 下面绘制了sigmoid函数的导数。当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；当输入越偏离0时，sigmoid函数的导数越接近0。

y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')

tanh函数
tanh(双曲正切)函数可以将元素的值变换到-1和1之间：
$tanh(x)=\dfrac{1-exp(-2x)}{1+exp(-2x)}$ 当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在坐标系的原点上对称。
依据链式法则，tanh函数的导数
$tanh^{\prime}(x)=1-tanh^{2}(x)$ 下面绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

###### 关于激活函数的选择 - ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是ReLU函数只能在隐藏层中使用； - 用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数； - 在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多； - 在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。

多层感知机

多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：
$\begin{aligned} H&=\phi (XW_h+b_h)\\ O&=HW_o+b_o \end{aligned}$ 其中 $\phi$ 表示激活函数

#从零开始定义网络
def net(X):
    X = X.view((-1, num_inputs))
    #隐藏层输出
    H = relu(torch.matmul(X, W1) + b1)
    return torch.matmul(H, W2) + b2
#利用PyTorch实现
net = nn.Sequential(
        # FlattenLayer是在数据输入前进行维度变换
        d2l.FlattenLayer(),
        nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
        nn.ReLU(),
        nn.Linear(num_hiddens, num_outputs), 
        )

来源：CSDN

作者：Ta51167

链接：https://blog.csdn.net/qq_34563147/article/details/104310639

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