1. 技术文章
  2. [Updating]点分治学习笔记

[Updating]点分治学习笔记

由 拜拜、爱过 提交于 2020-02-14 18:18:10

[Updating]点分治学习笔记

Upd

  • \(2020/2/14\)，补了一道例题LuoguP3085 [USACO13OPEN]阴和阳Yin and Yang

To Do List

  • 待填 LuoguP2664 树上游戏

  • 动态点分治。这个看心情写吧......是贞德不想写qwq

嘛...上个世纪学的...好像全忘了....来写一下吧

这个应该算树上路径类问题的一类trick吧...

che dan环节

点分治嘛，顾名思义，先抓树上一个点算它对答案贡献，然后把这个点割掉，会变成几棵小一点的树，然后递归算就好了。

那么问题来了，点要怎么选呢？rand一个如果说他是一条链的话从上往下选点就被卡\(n^2\)了 默默码起手中的暴力，随便rand又有被针对的风险...

在分治递归的时候，每一层递归的总复杂度我们不想管它，我们要控制的就是每一次选点使得递归的层数变少。

树上有一个名词叫做重心详见CSP-2019 D2T3，重心旁边的子树大小最大是不会超过\(n/2\)的，所以我们每次点分治的时候先找当前分治到的这一联通块内的重心，然后算重心对答案的贡献在把重心割掉，分治就好了。

这样做递归的层数是不会超过\(\log n\)的，具体的算一点对答案的贡献针对题目来看。

那怎么找重心呢？重心的定义，对于一棵树，其重心的最大子树大小一定是最小的，所以对树\(Dfs\)一遍，算出每个节点最大子树的大小是多少，取最小的就好了。

int siz[N],all,mx[N],rt,vis[N]; // all 表示当前联通块的大小，vis在下面会说
void getrt(int x,int prev)
{
    siz[x]=1,mx[x]=0;
    for(int i=fst[x];i;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i]; if(v==prev) continue;
        getrt(v,x),siz[x]+=siz[v];
        mx[x]=max(mx[x],siz[v]);
    }
    mx[x]=max(mx[x],all-siz[x]);　// 无根树嘛...从x父亲哪里跑出去的一坨也是x的子树
    if(mx[x]<mx[rt]) rt=x;
}

所以点分治的code大概长这样

int vis[N],siz[N],all,mx[N],rt; // all 表示当前联通块的大小
void getrt(int x,int prev)
{
    siz[x]=1,mx[x]=0;
    for(int i=fst[x];i;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i]; if(v==prev) continue;
        getrt(v,x),siz[x]+=siz[v];
        mx[x]=max(mx[x],siz[v]);
    }
    mx[x]=max(mx[x],all-siz[x]);　// 无根树嘛...从x父亲哪里跑出去的一坨也是x的子树
    if(mx[x]<mx[rt]) rt=x;
}
void dfz(int x)
{
    vis[x]=1; //　这里会用到vis
    /*
     * 假装这里是将x的贡献算上
    */
    // 分治
    for(int i=fst[x];i;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i]; if(vis[v]) continue;
        mx[rt=0]=siz[v],all=siz[v];
        getrt(v,x),dfz(rt);
    }
}
int main()
{
    // 然后main里面要先求一下整棵树的重心
    mx[rt=0]=n,all=n;
    getrt(1,0),dfz(rt);
    return 0;
}

例题

好，扯了那么多，来看点题目吧。。。

LuoguP4178(POJ1741) Tree

套板子吧。。。每次算\(x\)的贡献的时候先把从\(x\)出发到当前分治到的联通块内所有点的路径找出来，然后排序，two-pointer算一下，然后发现样例都没过

[冷静分析.jpg]

按上面直接two-pointer后会出现\(x\)到同一子树内两个点的路径，也就是说会算上自交的路径。

咋办呢？对于\(x\)的一个子树\(v\)，容斥掉\(x\)到\(v\)里面两个点的路径就好了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fore(i,x) for(int i=head[x],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to)
const int N=1e5+10;
int n,K;
struct edge
{
    int to,nxt,w;
}e[N<<1];
int head[N],cnt=0;
inline void ade(int x,int y,int w)
{e[++cnt]=(edge){y,head[x],w},head[x]=cnt;}
inline void addedge(int x,int y,int w){ade(x,y,w),ade(y,x,w);}
int siz[N],mx[N],rt,all,vis[N];
void getrt(int x,int prev)
{
    siz[x]=1,mx[x]=0;
    fore(i,x)if(!vis[v]&&v!=prev)
    {
        getrt(v,x),siz[x]+=siz[v];
        mx[x]=max(mx[x],siz[v]);
    }
    mx[x]=max(mx[x],all-siz[x]);
    if(mx[x]<mx[rt]) rt=x;
}
int dis[N],tot;
void getd(int x,int prev,int d)
{
    dis[++tot]=d;
    fore(i,x) if(v!=prev&&!vis[v]) getd(v,x,d+e[i].w);
}
int calc(int x,int w)
{
    tot=0,getd(x,0,w);
    sort(dis+1,dis+tot+1);
    int nw=tot,ans=0; for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        while(dis[nw]+dis[i]>K) nw--;
        if(nw<=i) break; ans+=nw-i;
    }
    return ans;
}
int ans;
void dfz(int x)
{
    vis[x]=1,ans+=calc(x,0);
    fore(i,x) if(!vis[v]) ans-=calc(v,e[i].w); // 去除不合法的路径（注意参数）
    fore(i,x) if(!vis[v])
    {
        rt=0,all=mx[rt]=siz[v];
        getrt(v,x),dfz(rt);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,x,y,w;i<=n-1;i++)
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w),addedge(x,y,w);
    scanf("%d",&K);
    rt=0,all=mx[rt]=n;
    getrt(1,0),dfz(rt);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

CF161D Distance in Tree

嘛。。。这个要算的是长度等于\(K\)的路径数量。

一个可以直接套板子的做法就是用长度\(<= K\)的路径数量\(-\)小于\(K\)的路径数量，然后就是板子了。

上世纪的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=100010;
int n,K;
struct edge{
    int to,nxt;
}e[MAXN*2];
int head[MAXN],cnt=0;
void adde(int x,int y){
    e[++cnt]=(edge){y,head[x]},head[x]=cnt;
}
void addedge(int x,int y){
    adde(x,y);
    adde(y,x);
}
int size[MAXN],dp[MAXN],vis[MAXN],root,sum;
void getRoot(int x,int prev){
    size[x]=1,dp[x]=0;
    for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if (v==prev||vis[v]) continue;
        getRoot(v,x);
        size[x]+=size[v];
        dp[x]=max(dp[x],size[v]);
    }
    if ((dp[x]=max(dp[x],sum-size[x]))<dp[root])
        root=x;
}
int tot=0,dis[MAXN],D[MAXN];
void getDis(int x,int prev){
    D[++tot]=dis[x];
    for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if (v==prev||vis[v]) continue;
        dis[v]=dis[x]+1,getDis(v,x);
    }
}
ll calc(int x,int w){
    dis[x]=w,tot=0,getDis(x,0);
    sort(D+1,D+tot+1);
    int l=1,r=tot;
    ll tmp1=0,tmp2=0;
    while (l<r){
        if (D[l]+D[r]<=K) tmp1+=r-l,l++;
        else r--;
    }
    l=1,r=tot;
    while (l<r){
        if (D[l]+D[r]<K) tmp2+=r-l,l++;
        else r--;
    }
    return tmp1-tmp2;
}
ll ans=0;
void solve(int x){
    vis[x]=1,ans+=calc(x,0);
    for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if (vis[v]) continue;
        ans-=calc(v,1);
        sum=size[v],dp[root=0]=0x3f3f3f3f;
        getRoot(v,x),solve(root);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&K);
    for (int i=1;i<=n-1;i++){
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        addedge(x,y);
    }
    dp[root=0]=0x3f3f3f3f,sum=n;
    getRoot(1,0),solve(root);
    printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}

LuoguP2634 [国家集训队]聪聪可可

答案就是 长度为\(3\)的倍数的路径数量$ / $所有路径数量。

这里因为交换两点算两条路径，端点还可以重合，所以所有路径数量为\(n^2\)。

然后算一个点对答案的贡献的时候可以开个桶\(cnt[0..2]\)，表示从当前重心出发到当前联通快内所有点的路径，长度除以\(3\)的余数为\(0,1,2\)的路径数量。

那么这个点对合法路径数量的贡献就是\(cnt[0]*cnt[0] + 2*cnt[1]*cnt[2]\)（注意\(1,2\)要乘\(2\)，而\(0\)不用），对于自交的路径同样容斥算一下就好了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,j,k) for (int i=(int)(j);i<=(int)(k);i++)
#define per(i,j,k) for (int i=(int)(j);i>=(int)(k);i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
int gcd(int x,int y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
const int MAXN=20010;
struct edge{int to,w,nxt;}e[MAXN<<1];
int head[MAXN],cur=0;
void addedge(int x,int y,int w){
    e[++cur]=(edge){y,w,head[x]};head[x]=cur;
    e[++cur]=(edge){x,w,head[y]};head[y]=cur;
}
int dp[MAXN],size[MAXN],vis[MAXN],cnt[3],dis[MAXN],root,sum;
int ans=0,n;
void getRoot(int x,int fa){
    size[x]=1,dp[x]=0;
    for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if (vis[v]||v==fa)continue;
        getRoot(v,x);
        size[x]+=size[v];
        dp[x]=max(dp[x],size[v]);
    }
    dp[x]=max(dp[x],sum-size[x]);
    if (dp[x]<dp[root])root=x;
}
void getDis(int x,int fa){
    cnt[dis[x]%3]++;
    for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if (v==fa||vis[v])continue;
        dis[v]=(dis[x]+e[i].w)%3;
        getDis(v,x);
    }
}
int calc(int x,int w){
    cnt[0]=cnt[1]=cnt[2]=0,dis[x]=w;
    getDis(x,0);
    return cnt[0]*cnt[0]+cnt[1]*cnt[2]*2;
}
void solve(int x){
    vis[x]=1;ans+=calc(x,0);
    for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if (vis[v])continue;
        ans-=calc(v,e[i].w);
        sum=size[v],dp[root=0]=n,getRoot(v,0);
        solve(root);
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    rep (i,1,n-1){
        int x,y,w;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        addedge(x,y,w);
    }
    sum=dp[root=0]=n,getRoot(1,0);
    solve(root);
    int tmp=gcd(ans,n*n);
    printf("%d/%d\n",ans/tmp,n*n/tmp);
    return 0;
}

LuoguP3806 【模板】点分治1

话说怎么到现在才讲模板题...

这个之前好像是数据水了。。。然后导致我\(calc\)的时候双重循环都能过。。。

考虑到\(m\)很小，所以离线下来，在点分治的时候一起回答。

这里提供一个最简单粗暴的方法。

在遍历重心\(x\)的子树的时候枚举询问，然后枚举\(x\)的当前子树\(v\)里的所有路径，然后算当前路径与之前遍历过的路径内是否有满足要求的，遍历完一棵子树后把路径都插入到一个multiset，查询的话\(set\)二分就好了。

因为最多只会递归\(\log n\)层，每层的复杂度最大是\(nm \log n\)，所以复杂度是\(O(nm \log^2 n)\)的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define fore(i,x) for(int i=head[x],v=e[i].to,w=e[i].w;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to,w=e[i].w)
const int N=1e5+10;
int n,m;
struct edge
{
    int to,nxt,w;
}e[N<<1];
int head[N],cnt=0;
inline void ade(int x,int y,int w)
{e[++cnt]=(edge){y,head[x],w};head[x]=cnt;}
inline void addedge(int x,int y,int w){ade(x,y,w),ade(y,x,w);}
vector<int>qs;
int ans[1010];
int siz[N],vis[N],mx[N],rt,all;
void getrt(int x,int prev)
{
    siz[x]=1,mx[x]=0;
    fore(i,x) if(!vis[v]&&v!=prev)
    {
        getrt(v,x),siz[x]+=siz[v];
        mx[x]=max(mx[x],siz[v]);
    }
    mx[x]=max(mx[x],all-siz[x]);
    if(mx[x]<mx[rt]) rt=x;
}
int dis[N],tot=0;
inline void getd(int x,int prev,int d)
{
    dis[++tot]=d;
    fore(i,x) if(v!=prev&&!vis[v]) getd(v,x,d+w);
}
#define IT multiset<int>::iterator
multiset<int> s;
void dfz(int x)
{
    vis[x]=1;
    fore(ei,x) if(!vis[v])
    {
        tot=0,getd(v,x,w);
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            if(ans[i]) continue;
            for(int j=1;j<=tot;j++)
            {
                if(dis[j]==qs[i]){ans[i]=1;break;} // 注意特判
                IT it=s.lower_bound(qs[i]-dis[j]);
                if(it==s.end()) continue;
                if(dis[j]+(*it)==qs[i]){ans[i]=1;break;}
            }
        }
        for(int i=1;i<=tot;i++) s.insert(dis[i]);
    }
    s.clear();
    fore(i,x) if(!vis[v])
    {
        all=mx[rt=0]=siz[v];
        getrt(v,x),dfz(rt);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x,y,w;i<n;i++)
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w),addedge(x,y,w);
    for(int i=1,x;i<=m;i++) scanf("%d",&x),qs.pb(x);
    all=mx[rt=0]=n,getrt(1,0),dfz(rt);
    for(int i=0;i<m;i++) puts(ans[i]?"AYE":"NAY");
    return 0;
}

LuoguP3085 [USACO13OPEN]阴和阳Yin and Yang

这个题也挺神的qwq

给一棵树，每条边有黑白两种颜色，下面用\((x,y)\)表示树上点\(x\)到点\(y\)的路径

问有多少条路径\((x,y)\)，满足存在路径上一点\(z(z \not= x,y)\)，使得\((x,z)\)这条路径上的黑白边数量相等，且\((z,y)\)这条路径上的黑白边也相等。

终于看到一个要动脑子的题了

还是淀粉质，考虑如何算重心\(x\)对答案的贡献，下面我们令\(d_v\)表示当前分治到的块中，点\(x\)到点\(v\)路径上黑白边的数量差，算\(d\)的话可以把\(0\)的边边权设为\(-1\)，\(1\)的边边权设为\(1\)。

发现满足条件的一条经过\(x\)路径\((u,v)\)一定满足\(d_u = -d_v\)（\(u,v\)也不能在\(x\)的同一子树中）

但\((u,v)\)上是否存在点\(z\)呢？

分类讨论一下，点\(z\)要么在\((x,u)\)上，要么在\((x,v)\)上。

在\((x,u)\)上时，一定满足\(d_z=d_x\)且\(-d_z=d_v\)，在\((v,x)\)上类似。

具体的把点分成两类，一类点是在该点\(v\)到\(x\)的路径上存在\(z\)，使得\(d_v=d_z\)的，二类点是没有的。

这样一类点可以和一，二类点产生贡献，而二类点只会和一类点产生贡献。

这个可以开几个桶算一下，实现看代码吧

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=4e5+10;
int n;
#define fore(i,x) for(int i=fst[x],v=to[i],c=col[i];i;i=nxt[i],v=to[i],c=col[i])
int fst[N],to[N<<1],nxt[N<<1],col[N<<1],es=0;
inline void ade(int x,int y,int w)
{to[++es]=y,col[es]=w,nxt[es]=fst[x],fst[x]=es;}
inline void addedge(int x,int y,int w)
{
    w=w==1?1:-1;
    ade(x,y,w),ade(y,x,w);
}
int siz[N],vis[N],mx[N],rt,all;
void getrt(int x,int prev)
{
    siz[x]=1,mx[x]=0;
    fore(i,x) if(v!=prev&&!vis[v])
    {
        getrt(v,x),siz[x]+=siz[v];
        mx[x]=max(mx[x],siz[v]);
    }
    mx[x]=max(mx[x],all-siz[x]);
    if(mx[x]<mx[rt]) rt=x;
}
int d[N],fa[N];
void dfs(int x,int prev,int w)
{
    d[x]=w,fa[x]=prev;
    fore(i,x) if(!vis[v]&&v!=prev) dfs(v,x,w+c);
}
int tmp[N<<1],cnt[2][N<<1]; 
/*
 cnt[0][i]表示2类点中，d为i的点的个数
 cnt[1][i]表示1类点中，d为i的点的个数
 tmp是用来遍历的时候确定1,2类点的。
*/
void upd(int x,int k1=1)
{
    if(tmp[n+d[x]]) cnt[1][n+d[x]]+=k1;
    else cnt[0][n+d[x]]+=k1;
    tmp[n+d[x]]++;
    fore(i,x) if(!vis[v]&&v!=fa[x]) upd(v,k1);
    tmp[n+d[x]]--;
}
ll ans=0;
void calc(int x)
{
    ans+=cnt[1][n-d[x]]+cnt[0][n-d[x]]*(tmp[n+d[x]]!=0);
    if(d[x]==0) ans+=tmp[n]>1; 
    /* 
     *这里要特判路径一个端点是重心的情况
     *因为z不能在两个端点上，所以tmp要大于1
    */
    tmp[n+d[x]]++;
    fore(i,x) if(!vis[v]&&v!=fa[x]) calc(v);
    tmp[n+d[x]]--;
}
void dfz(int x)
{
    vis[x]=1,dfs(x,0,0);
    tmp[n]=1; // 注意要把x也放到桶里面
    fore(i,x) if(!vis[v]) calc(v),upd(v); // 这里不用容斥算，枚举子树v，算与之前子树的贡献，然后在把v里面的点全部加入到桶里就好了
    fore(i,x) if(!vis[v]) upd(v,-1); // 清除桶
    tmp[n]=0;
    fore(i,x) if(!vis[v])
    {
        all=siz[v],mx[rt=0]=all;
        getrt(v,x),dfz(rt);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,x,y,w;i<=n-1;i++)
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w),addedge(x,y,w);
    mx[0]=n,all=siz[rt=0]=n;
    getrt(1,0),dfz(rt);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

LuoguP2664 树上游戏

到这里先咕咕咕吧。。。【咕～】

标签
vis
scanf
易学教程内所有资源均来自网络或用户发布的内容，如有违反法律规定的内容欢迎反馈！
该文章没有解决你所遇到的问题?点击提问,说说你的问题,让更多的人一起探讨吧!