数学在算法中的应用

题解目录

• 数学
• 快速幂
• 调和级数
• 组合数学
• 数论
• 卡特兰数
• 洛谷 P1044 栈

数学

快速幂

定义
快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。
原理
比如说计算2的13次方，常见的方法是连续乘2 13次，时间复杂度为O(n);
但是快速幂算法可以压缩到O(log₂N)。
具体算法是这样的 将13化成二进制数 即1101（8421就是这么皮）我们可以一眼看出来，但计算机就不行了，得帮它算。转过来一想，不就是要知道二进制每一位的值吗,话不多说看代码（talk is cheaper,show me your code)

int b=13;
while(b>0){
  //判断b的最后一位
  if(b&1) {
  }
  b=b>>1;//右移一位
}

那么知道每一位又有什么用呢,下面的公式就是快速幂的原理
$2^{13}=2^{1}*2^{4}*2^{8}$
比如说求a的b次方

//快速幂算法，代码虽短，技术含量不低哦
int quickpower(int a,int b){
  int ans=1,base=a;
  while(b>0){
  if(b&1) ans=ans*base;
  base=base*base;//基数自乘
  b=b>>1;/右移一位
  }
  return 0;
}

调和级数

公式$Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}$
欧拉推导过求调和级数有限多项式和的表达式为$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=ln(n+1)+\gamma \quad (\gamma\approx 0.57721 56649)$

已知
$Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}$
显然对于任意一个整数 k,当n足够大的时候Sn>k。
$Sn>k\quad \Rightarrow \,ln(n+1)+\gamma\gt k \Rightarrow \,n>e^{k-\gamma}-1 \;所以n=e^{k-\gamma}+0.5 \;（四舍五入）$

组合数学

数论

卡特兰数

卡特兰数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	…
值	1	1	2	5	14	42	132	429	1430	…

递推式
$H(n)=\frac{H(n-1)*(4n-2)}{n+1} \;(n\ge2,n\in N^+)$
Catalan 数的常见公式：
$H(n)= \frac{ \tbinom{2n}{n}}{n+1}$
$H(n)=\tbinom{2n}{n}-\tbinom{2n}{n-1}$
常见问题

• 排队买票问题
  有 2n个人排成一行进入剧场。入场费 5 元。其中只有 个人有一张 5 元钞票，另外 人只有 10 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有 10 元的人买票，售票处就有 5 元的钞票找零？
• 上班问题
  一位大城市的律师在她住所以北 n个街区和以东 n个街区处工作。每天她走 2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
• 出栈序列问题
  一个栈（无穷大）的进栈序列为 有多少个不同的出栈序列？

洛谷 P1044 栈

#include <iostream>
using namespace std;
int n;
long long f[25];
int main() {
  f[0] = 1;
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) 
  f[i] = f[i - 1] * (4 * i - 2) / (i + 1);//卡特兰公式
  
  cout << f[n] << endl;
  return 0;
}

来源：CSDN

作者：Yun102400

链接：https://blog.csdn.net/qq_42188312/article/details/104218803