蓝桥杯：K好数 动态规划解法

蓝桥杯：K好数 动态规划解法

问题描述

如果一个自然数N的K进制表示中任意的相邻的两位都不是相邻的数字，那么我们就说这个数是K好数。求L位K进制数中K好数的数目。例如K = 4，L = 2的时候，所有K好数为11、13、20、22、30、31、33 共7个。由于这个数目很大，请你输出它对1000000007取模后的值。

输入格式

输入包含两个正整数，K和L。

输出格式

输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的值。

样例输入

4 2

样例输出

7

数据规模与约定

对于30%的数据，K^L <= 10⁶；
对于50%的数据，K <= 16， L <= 10；
对于100%的数据，1 <= K，L <= 100。

思路

• 因为数字不能相邻，那么第 i 位的填写，取决于第 i-1 位的数字

若第 i-1 位数字为 0 或者 k-1，第 i 位有 k-1 种选择

例：四进制，可选0,1,2,3
现有长度位2的数字：30，现在填第三位，可以选0,2,3
现有长度位2的数字：13，现在填第三位，可以选0,1,3

若第 i-1 位数字为 1~k-2，第 i 位有 k-2 种选择

例：四进制，可选0,1,2,3
现有长度位2的数字：31，现在填第三位，可以选1,3
现有长度位2的数字：12，现在填第三位，可以选0,2

那么长度为len，结尾数字为 x 的K好数的数目，就是

所有【长度为len-1，结尾数字与x不相邻的K好数的数目】之和

• 这样，大问题就被拆解为小问题，即长度为len的K好数数目和长度为len-1的K好数数目相关

可以定义状态：
dp[i][j]表示以i结尾，长度为j的K好数的数目

状态转移方程：（Sum表示求和）

dp[i][j] = Sum(dp[0~k-1之间与i不相邻的数字][j-1])

代码

需要注意的是取余数，每一步运算之后都要取余数

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

#define MAXLEN 109
#define mod 1000000007
#define iabs(x) ((int)fabs(x))
int dp[MAXLEN][MAXLEN];	// dp[i][j]表示以i结尾，长度为j的K好数的数目
int k, l;

int main()
{
	cin>>k>>l;
	// 不能以0打头，长度为1，结尾=开头
	dp[0][1] = 0;	 
	// dp数组初始化:以1~k-1结尾，长度为1的K好数数目是1 
	for(int i=1; i<k; i++)
	{
		dp[i][1] = 1;
	}
	
	// DP 
	for(int i=2; i<=l; i++)
	{
		for(int j1=0; j1<k; j1++)
		{
			// 以j1结尾，长度为i的K好数数目 =
			// 所有长度为i-1，结尾数字与j1不相邻的K好数的数目之和 
			int sum = 0;
			for(int j2=0; j2<k; j2++)
			{
				if(iabs(j1-j2)>1 || j1==j2)
				{
					sum += dp[j2][i-1]%mod;
					sum = sum%mod;
				}
			}
			dp[j1][i] = sum%mod;
		}
	}
	
	// 计算以任意数字结尾，长度为l的K好数数目 
	int cnt = 0;
	for(int i=0; i<k; i++)
	{
		cnt += dp[i][l]%mod;
		cnt = cnt%mod;
	}
	cout<<cnt%mod<<endl;
	
	return 0;
}

来源：CSDN

作者：AkagiSenpai

链接：https://blog.csdn.net/weixin_44176696/article/details/104159040