Silverlight数学引擎（7）——尺规作图之交点1

前面总结了尺规作图的三大元素（点、线、圆），而且得出其结论——所有图形也最终是依赖于一些自由点(FreePoint)。自由点是没有依赖的，可以在屏幕上随意绘制，因此除了基本的坐标转换(数学坐标系与屏幕坐标系)外没有复杂的数学计算，所以我们也就不讨论了。本节主要讨论线与线交点的坐标计算，本来想把三种交点（线与线，线与圆，圆与圆）放在一节介绍，后来写演示代码的时候发现工程量有点大，所以这一节还是只是介绍下线与线的交点（这叫做小步快跑，是TDD编程的推荐方法，因为步子迈太大容易扯着蛋啦，寡人这两天就觉得有点蛋疼）。

线与线的交点必须要有两条线，我们在后台计算坐标需要用到平面解析几何（就是代数与几何的结合体啦），用到的都是初中的数学知识，因此大家不要惊慌。

先来看看直线的方程：

y=ax+b

当我们用两个自由点确定一条直线时，我们把两个自由点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入改方程可以求解出a和b的值。为了直观起见，我们定义一个线的类（LogicLine）。（本节定义的类基本上都是为了演示计算和与数学概念相衔接，我们计算是用数学坐标系为参考的）。

//表示直线：y=ax+b
    public class LogicalLine
    {
        public LogicalLine(LogicalPoint p1, LogicalPoint p2)
        {
            P1 = p1;
            P2 = p2;
        }

        public LogicalPoint P1 { get; set; }
        public LogicalPoint P2 { get; set; }

        //直线(x1,y1)(x2,y2):y=ax+b：a=(y1-y2)/(x1-x2),b=y1-a*x1
        private double dy { get { return P2.Y - P1.Y; } }
        private double dx { get { return P2.X - P1.X; } }
        public double a { get { return dy / dx; } }
        public double b { get { return P1.Y - a * P1.X; } }
    }

有了直线方程，那么求两线的交点顺理成章就变成了解方程组(二元一次方程组)，假设有两条直线：

y=a1x+b1
y=a2x+b2

如果该方程组有一个解(x=x3,y=y3),则点(x3,y3)就是交点了。

有意思的是这个方程组中，如果a1=a2 且 b1=b2，则有无数个解。是不是就有无数个交点呢？这种情况是两条线重合，可以理解成两线平行的特殊情况，我们当做没有交点。解二元一次方程组很简单了是吧，都是代数带来带去，烦得很呐，所以寡人在初中时只喜欢纯几何，呵呵，眼根清净。

不管怎么说，一次方程还是挺简单的，逻辑都写在代码里了，如果你离开初中很多年了，需要温故一下的话就看一眼吧，否则完全可以忽略了：

//线与线的交点
        public static LogicalPoint LineAndLine(LogicalLine line1, LogicalLine line2)
        {
            double x;
            double y;

            if (line1.dx.IsZero()) //与Y轴平行
            {
                x = line1.P1.X;
                y = line2.a*x + line2.b;
            }
            else if (line2.dx.IsZero()) //与Y轴平行
            {
                x = line2.P1.X;
                y = line1.a*x + line1.b;
            }
            else
            {
                if (line1.a.IsEqual(line2.a)) //两线平行,认为交点无穷远
                {
                    x = double.NegativeInfinity;
                    y = double.NegativeInfinity;
                }
                else
                {
                    var d = (line1.a - line2.a);
                    x = (line2.b - line1.b)/d;
                    y = line1.a*x + line1.b;
                }
            }
            return new LogicalPoint(x, y);
        }

可以看到代码里面用到了一些扩展的方法，例如IsZero()什么的，如果感觉莫名其妙可以看看源代码，过多地使用扩展方法可能会使代码看起来有点脱离.net了，毕竟.net的类库啊功能啊什么的已经很完备了，不过偶尔用用还是可以的，为了书写方便而已。

接下来就是要测试我们的计算逻辑是否正确，这里用TDD虽然必不可少但是太不直观了，我们还是写一个可交互的界面来验证。具体做法是这样子的：

使用我们前面实现的坐标系(CoordinateSystem)
在坐标系上画两个自由点P1、P2（红色）和四个角上的点（绿色）。
画四条固定的直线（坐标系的所在的Canvas的四边）。
画一条自由线FreeLine（依赖于P1、P2）。
添加四个交点（FreeLine和四个边的交点）（蓝色）
添加坐标系的鼠标事件，使得可以拖动P1、P2。
当P1或者P2移动时，重新计算FreeLine和四个交点的坐标并更新显示。

我们先来设计几个坐标系上的元素（点、线）来实现我们的测试，虽然元素很少很简单，我们还是按照从抽象到具体的设计方式，这是一种习惯啦。其实随便画几个圆啊线啊什么的搞一下测试也可以，但是以寡人的经历来看这样也省不了多少时间，反而不利于培养良好的编程习惯。

有了第一节面向对象的设计方法讲解，这里就不再详细介绍了，直接给出了图吧：

这样的设计体现了依赖的顺序，比如线依赖于两个点，交点又依赖于两条线，好处就是只要一个自由点发生变化了，就可以依照依赖找出其相关的所有元素，已达到牵一发而动的目的，呵呵。

因为显示和计算用到的坐标系不同，接口中定义CS（坐标系）是必须的，因为我们计算都是用的数学坐标系，而在界面上显示又必须是按照屏幕坐标系统。

UpdateVisual()是用于计算和更新位置的，当然不同的图形元素有不同的逻辑，在代码里看会比较清楚.

这里顺便提一下Canvas鼠标事件的一个常用功能——从当前单击点取元素，比如Canvas上有一个Ellipse，如果我在Ellipse上单击，可以找出这个元素。

作为游戏编程的人肯定都会想到用HitTest，对，我们就用它，这里我把它扩展成一个静态方法，而且还是泛型哦，这样如果Point下面有多个元素，你就可以方便地找出你要的类型，比如我们的测试用例中自由点和自由线是部分重叠的，而我们要拖动的仅仅是点而已。代码如下，其中VisualTreeHelper.FindElementsInHostCoordinates是Silverlight类库中的方法：

public static T HitTest<T>(this Panel panel, Point p) where T : FrameworkElement
        {
            var t = VisualTreeHelper.FindElementsInHostCoordinates(p, panel).FirstOrDefault();
            if (t != null && t is T)
                return (T)t;
            return null;
        }

OK，这节就到这里了，来看看运行效果图吧：

【源代码和演示地址】

下一节我们再讲解一下更复杂一点的交点的计算，以及存在多个交点的情况下，交点顺序如何确定的，两交点重合又将如何处理！

来源：https://www.cnblogs.com/fooeunfun/archive/2012/11/29/2795157.html

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数学