最大公约数问题

题目描述

如何求两个正整数的最大公约数？

思路

暴力枚举法

没什么好说的，直接看代码

    //暴力枚举法
    public static int gcd1(int a, int b){
        int big = a > b ? a : b;
        int small = a < b ? a : b;
        if (big%small==0){
            return small;
        }
        for (int i = small/2; i > 0; i--){
            if (small % i == 0 && big % i == 0){
                return i;
            }
        }
        return 1;
    }

辗转相除法

基于定理：两个正整数a和b(a>b)，它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数

基于这条定理，我们利用递归法就可以解决问题

    //辗转相除法
    public static int gcd2(int a, int b){
        int big = a > b ? a : b;
        int small = a < b ? a : b;
        if (big%small==0){
            return small;
        }
        return gcd2(big%small, small);
    }

更相减损术

原理：两个正整数a和b(a>b)，它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数

同样利用递归法解决

    //更相减损术
    public static int gcd3(int a, int b){
        int big = a > b ? a : b;
        int small = a < b ? a : b;
        if (big%small==0){
            return small;
        }
        return gcd3(big-small, small);
    }

更相减损术与移位相结合

暴力枚举法时间复杂度为 $O(min(a, b))$
辗转相除法时间复杂度近似为 $O(log(max(a, b)))$ ，但是取模运算性能较低
更相减损术算法不稳定，最坏时间复杂度为 $O(max(a, b))$

因此将辗转相除法和更相减损术的优势结合起来，即在更相减损术的基础上使用移位运算。具体步骤如下：
①当a和b为偶数时, $gcd(a,b)=2\times gcd(a/2, b/2)=2\times gcd(a\gg 1, b\gg 1)$
②当a为偶数，b为奇数时， $gcd(a,b)=gcd(a/2,b)=gcd(a\gg 1,b)$
③当a为奇数，b为偶数时， $gcd(a,b)=gcd(a,b/2)=gcd(a,b\gg 1)$
④当a和b均为奇数时，先利用更相减损术运算一次， $gcd(a,b)=gcd(b,a-b)$ ，此时a-b必然是偶数，然后又可以继续利用移位运算

  public static int gcd4(int a, int b){
        if (a==b){
            return a;
        }
        if ((a&1)==0 && (b&1)==0){
            return gcd4(a>>1,b>>1)<<1;
        }else if ((a&1)==0 && (b&1)!=0){
            return gcd4(a>>1, b);
        }else if ((a&1)!=0 && (b&1)==0){
            return gcd4(a,b>>1);
        }else {
            int big = a>b ? a : b;
            int small = a<b ? a : b;
            return gcd4(big-small, small);
        }
    }

此算法不但避免了取模运算，而且算法稳定，时间复杂度为： $O(log(max(a,b)))$

来源：CSDN

作者：執筆、写下一塲流年

链接：https://blog.csdn.net/wy_mgl/article/details/104049555

标签

最大公约数

gcd