题目

原题链接
Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate number must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

给定一个包含 $n+1$ 个元素的数组，每个元素都在 $1$ 到 $n$ 之间（闭区间），证明至少一个元素重复，找出重复元素。

随想

这也是我遇到的一个面试题，当时想了很长时间，表现也不太好。
这个题和另外一个题：每个元素出现两次，有一个出现一次（Leetcode 136 Single Number）较为类似，有正好反过来的感觉。Leetcode136那道题异或位运算直接秒之。
证明一定有一个重复元素并不难，根据抽屉原理即可。
下面说如何找到它。
注意：并不要求 $1$ 到 $n$ 中的元素都要出现，也即 $[2, 2, 2]$ 这种输入也是合法的。

思路及代码

方法1 哈希表

用一个hash table去存储，然后查重复的元素。
平均时间复杂度是 $\mathcal{O}(n)$ ，空间复杂度是 $\mathcal{O}(n)$ 。

优点：

打破元素必须在 $1$ 到 $n$ 的约束，适用范围广
不修改输入参数
时间复杂度低

缺点：

空间复杂度高。

如果要求了空间复杂度是 $\mathcal{O}(1)$ ，那么该如何做呢？

方法2 排序

对原数组排序，排序后找相邻重复元素。
平均时间复杂度是 $\mathcal{O}(n\log n)$ ，空间复杂度是 $\mathcal{O}(1)$ 。

优点：

打破元素必须在 $1$ 到 $n$ 的约束，适用范围广
空间复杂度低

缺点：

时间复杂度高
修改了输入参数

方法3 二分查找

对原数组进行二分查找，假如结果确定在在区间范围 $[1,n]$ 中，则记 $mid = \left \lfloor \frac{(1 + n)}{2} \right \rfloor$ ，统计 $[1,mid]$ 的元素个数是否小于等于 $mid -1 + 1$ ，如果是，说明结果在 $[mid + 1, n]$ ，否则说明结果在 $[1, mid]$ ；重复上述过程。
最坏时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$ ，空间复杂度 $\mathcal{O}(1)$ 。

优点：

空间复杂度低
不修改输入参数

缺点：

时间复杂度高

方法3可以看作是方法2的一个改进。
如果即要求空间复杂度空间复杂度 $\mathcal{O}(1)$ ，又要求时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$ ，该如何实现呢？

代码

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int left = 1, right = nums.size(), mid, count;
        while (left < right) {
            mid = (left + right) / 2;
            count = 0;
            for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
                count += (nums[i] <= mid && nums[i] >= left);
            }
            if (count <= (mid - left + 1)) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
};

方法4 利用索引交换

把 $1$ 到 $n$ 都当作索引使用，例如把元素 $a$ 放到数组 $[a]$ 位置上。索引 $[0]$ 是没有元素能放对的，所以可以一直用索引 $[0]$ 中的元素交换它对应位置的元素，直到这两个元素相等，即找到了重复元素。
最坏时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$ ，空间复杂度 $\mathcal{O}(1)$ 。因为每一次交换一定能放对一个元素，一共只有 $n$ 个元素，所以最坏只需要交换 $\mathcal{O}(n)$ 次。
（当时面试答得是这种方法，虽然后来手写代码写的是错的……emm）

优点：

空间复杂度低
时间复杂度低

缺点：

修改了输入参数

代码：

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        while (nums[0] != nums[nums[0]]) {
            swap(nums[0], nums[nums[0]]);
        }
        return nums[0];
    }
};

方法5 链表判环

这个是非常推荐的一种方法！
把索引当作是地址，0当作是链表头，那么本质上这个题就是在找环入口，而且是在一定有环的情况下。
这样的话用快慢指针即可。类似Leetcode 142 Linked List Cycle II，不会链表找入口的话可以先看下这个题.

最坏时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$ ，空间复杂度 $\mathcal{O}(1)$ 。

优点：

空间复杂度低
时间复杂度低

缺点：

暂无

代码：

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int fast = 0, slow = 0;
        do {
            fast = nums[fast];
            fast = nums[fast];
            slow = nums[slow];
        } while  (fast != slow);  // 这个do-while的写法非常精巧，可以仔细品一品
        
        fast = 0;
        
        while (fast != slow) {
            fast = nums[fast];
            slow = nums[slow];
        }
        
        return fast;
    }
};

来源：CSDN

作者：叶萧不被占了吧

链接：https://blog.csdn.net/qq_32071849/article/details/103999517

标签

时间复杂度

leetcode

【算法】——Leetcode 287 Find the Duplicate Number 找重复元素

目录

题目

随想