引导案例

案例一：

分销系统的返利：比如B是A的下线，C是B的下线，那么在分钱返利的时候A可以分B，C的钱，这时候我们是不是就要分别找B,C的最后上级。这个问题我们一般怎么来解决呢？

C–>B–>A

案例二： .斐波那契数列：

1 1 2 3 5 8 13 21 ......

有什么特点？
从第三个数开始就等于前面两个数相加；

数论思想：利用数学公式或者定理或者规律求解问题；

算法思想中最难的点：递归+动态规划

树论中（比如二叉树，红黑树）和递归密不可分，所以递归一定要弄明白了。

递归的定义

递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法。

通俗来说，递归算法的实质是把问题分解成规模缩小的同类问题的子问题，然后递归调用方法来表示问题的解。

举个生活中的例子

比如我们在某窗口排队人太多了，我不知道我排在第几个，那么我就问我前面的人排第几个，因为知道他排第几我就知道我是第几了。但前面的人也不知道自己排第几那怎么办呢？他也可以继续往前面问，直到问到第一个人，然后从第一个人一直传到我这里我就很清楚的知道我是第几了。

以上这个场景就是一个典型的递归。我们在这个过程中大家有没有发现一个规律那么就是会有一个问的过程，问到第一个后有一个回来的过程吧。这就是递（问）加归（回）。

那么这个过程我们是不是可以用一个数学公式来求解呢？那这个数学公式又是什么？

f(n)=f(n-1)+1

f(n):表示我的位置
f(n-1):表示我前面的那个人；

说白了一个一个往前问就是自己调用自己，完成这个功能。

推导出公式： f(n) = f(n-1) + f(n-2)

什么样的问题可以用递归算法来解决

需要满足的条件才可以用递归来解决？

（1）一个问题的解可以分解为几个子问题的解：

子问题，我们通过分治的思想可以把一个数据规模大的问题，分解为很多小的问题。
我们可以把刚刚那个问前面的那个人看为子问题。大化小

（2）这个问题与分解之后的子问题，求解思路完全一样：

（3）一定有一个最后确定的答案，即递归的终止条件。

刚刚那个问题就是第一个人。第一个人是肯定知道自己排第几吧即n=1的时候，如果没有这个特性那么我们这个递归就会出现死循环，最后程序就是栈溢出；StackOverflowError

递归并不是马上返回，而是一层一层的保存在Stack里边，满足结束条件后才一层一层的返回.

递归如何实现以及包含的算法思

递归，回溯（归的过程）；

递归的关键相信大家已经知道了就是要（1）求出这个递归公式，（2）找到终止条件。

现在我们可以回到课堂前跟大家讲的那个斐波那契数列数列：
1 1 2 3 5 8 13 这个的数列我们称之为斐波那契数列

按照我们说的两个点，来分析一下：

求解公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)
终止条件：n<=2 也就是f(n)=1

斐波那契数列代码实现

分析一下，给定一个值n , 输出 n个数字组成一个斐波那契数列

从n开始，一直往前递归，直到符合终止条件即可。



public class Fibonacc {

    public static int fab(int n){
        if(n <=2 ) return 1; // 终止条件
        return fab(n-1) + fab(n-2); // 递归公式
    }

    public static void main(String[] args) {
        for (int i = 1; i <= 10; i++) {
            System.out.println(i + ":" + fab(i));
        }
    }
}