线性筛总结

线性筛

总体思想：筛某个合数时，总是这个数的最小质因数筛除它。

划重点 ：因数个数$d(n)$、因数和$s(n)$、欧拉函数$phi(n)$、莫比乌斯函数$mu(n)$等均为$n$的积性函数，能很好的利用“最小质因数”筛法性质。

一、筛质数

处理出$1e8$以内的素数用时$1s$左右，实测复杂度为$O(n)$带一个小常数。

$1e7$以内则$0.1s$左右。

const int maxn = 1e7+7;
const int maxp = 7e5+7;

bool vis[maxn];
int prime[maxp], tot;

void getPrime() {
    for(int i=2; i<maxn; ++i) {
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i;
        for(int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<maxn; ++j) {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

二、因数个数

d数组：d函数
num数组：最小质因数个数

const int maxn = 1e6+7;

int d[maxn], num[maxn], vis[maxn], p[maxn], tot;

void getDiv() {
    d[1]=1;
    for(int i=2; i<maxn; ++i) {
        if(!vis[i]) p[++tot]=i, d[i]=2, num[i]=1;
        for(int j=1; j<=tot&&i*p[j]<maxn; ++j) {
            int k=i*p[j]; vis[k]=1;
            if(i%p[j]==0) {
                num[k]=num[i]+1;
                d[k]=d[i]/num[k]*(num[k]+1);
                break;
            }
            num[k]=1;
            d[k]=d[i]*2;
        }
    }
}

三、因数和

s数组：s函数（$1e6$的s在$1e6$左右，用$int$即可）
g数组：最小质因数对应的：$\displaystyle \frac{p^{e+1}-1}{p-1}=1+p+p^2+\dots+p^e=1+p*(1+p+\dots+p^{e-1})$

const int maxn = 1e6+7;

int s[maxn], g[maxn], vis[maxn], p[maxn], tot;

void getSum() {
    s[1]=g[1]=1;
    for(int i=2; i<maxn; ++i) {
        if(!vis[i]) p[++tot]=i, s[i]=i+1, g[i]=i+1;
        for(int j=1; j<=tot&&i*p[j]<maxn; ++j) {
            int k=i*p[j]; vis[k]=1;
            if(i%p[j]==0) {
                g[k]=g[i]*p[j]+1;
                s[k]=s[i]/g[i]*g[k];
                break;
            }
            g[k]=p[j]+1;
            s[k]=s[i]*g[k];
        }
    }
}

四、欧拉函数

phi数组：欧拉函数

const int maxn = 1e7+7;
const int maxp = 7e5+7;

int prime[maxp], phi[maxn], tot;
bool vis[maxn];

void getPhi() {
    phi[1]=1;
    for(int i=2; i<maxn; ++i) {
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i, phi[i]=i-1;
        for(int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<maxn; ++j) {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}

五、莫比乌斯函数

mu数组：莫比乌斯函数

const int maxn = 1e7+7;
const int maxp = 7e5+7;

int prime[maxp], mu[maxn], tot;
bool vis[maxn];

void getMu() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2; i<maxn; ++i) {
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i, mu[i]=-1;
        for(int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<maxn; ++j) {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) { mu[i*prime[j]]=0; break; }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

来源：CSDN

作者：UniverseofHK

链接：https://blog.csdn.net/weixin_43823767/article/details/103655919