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[学习笔记]网络流24题

由 落花浮王杯 提交于 2019-12-17 19:11:03

不按24题的顺序，按我做题的顺序

1、飞行员配对方案问题

建个图，跑遍匈牙利，让飞行员给其对应的飞机连一条边

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10000+10;
int n,m,e,head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],vis[maxn],tot,ans,match[maxn];
inline void add(int x,int y){
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
int dfs(int x){
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        if(!vis[y]){
            vis[y]=1;
            if(!match[y]||dfs(match[y])){
                match[y]=x;return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
    while(x!=-1&&y!=-1){
        if(x<=n&&y<=n+m) add(x,y);
        scanf("%d%d",&x,&y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(dfs(i)) ans++;
    }
    if(ans){
        printf("%d\n",ans);
        for(int i=n+1;i<=m;i++)
            if(match[i]) printf("%d %d\n",match[i],i);
    }
    else printf("No Solution!\n");
    return 0;
}

2、试题库问题

相当于超级源连一条容量为试卷题目总数的边，每张试卷对题目连一条容量为\(1\)的边，题目对超级汇连一条容量为\(1\)的边

方案嘛就找一下残量网络中流量为\(0\)的正向边，然后输出一下它的朝向\(e[i].to-k\)

而且顺带说一句，每一张试卷的题目总数不一定等于它连出的边！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int k,n,m,s,t,head[maxn],tot=1;
int dep[maxn],cur[maxn];

struct node{
    int to,next,val;
}e[maxn];

inline void add(int x,int y,int w){
    e[++tot].to=y;
    e[tot].val=w;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}

int bfs(int s,int t){
    queue<int> q;
    for(int i=0;i<=t;i++)
        cur[i]=head[i];
    memset(dep,0x7f,sizeof(dep));
    dep[s]=0;
    q.push(s);
    int u,v;
    while(!q.empty()){
        u=q.front(),q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
            v=e[i].to;
            if(dep[v]>inf&&e[i].val){
                dep[v]=dep[u]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return dep[t]<inf;
}

int dfs(int now,int t,int limit){
    if(!limit||now==t) return limit;
    int flow=0,f,v;
    for(int i=cur[now];i;i=e[i].next){
        cur[now]=i;v=e[i].to;
        if(dep[v]==dep[now]+1&&(f=dfs(v,t,min(limit,e[i].val)))){
            flow+=f;
            limit-=f;
            e[i].val-=f;
            e[i^1].val+=f;
            if(!limit) break;
        }
    }
    return flow;
}

int Dinic(){
    int maxflow=0;
    while(bfs(s,t))
        maxflow+=dfs(s,t,inf);
    return maxflow;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&k,&n);
    s=0;t=n+k+1;
    int x,y,w,p;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        scanf("%d",&w);
        add(s,i,w);add(i,s,0);
        m+=w;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&p);
        for(int j=1;j<=p;j++){
            scanf("%d",&x);
            add(x,i+k,1);add(i+k,x,0);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        add(i+k,t,1);add(t,i+k,0);
    }
    int maxflow=Dinic();
    if(maxflow==m){
        for(int x=1;x<=k;x++){
            printf("%d:",x);
            for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
                if(!e[i].val&&e[i].to>0){
                    printf("%d ",e[i].to-k);
                }
            }
            printf("\n");
        }
    }
    else printf("No Solution\n");
    return 0;
}

3、最小路径覆盖问题

我用二分图做的，网络流我不知道。二分图建图好建，但是方案难输出
.
方案就是每次找到拆点的\(i'\)，把它映射到\(match[i]\)，开个\(vis\)数组存一下标记

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=500+10;
int n,m,match[maxn],vis[maxn],ans;
vector<int> G[maxn];

int dfs(int x){
    int y;
    for(int i=0;i<G[x].size();i++){
        y=G[x][i];
        if(!vis[y]){
            vis[y]=1;
            if(!match[y]||dfs(match[y])){
                match[y]=x;match[x]=y;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

void print(int x){
    x+=n;
    for(int i=x;i;i=match[i-n]){
        vis[i-n]=1;
        printf("%d ",i-n);
    }
    printf("\n");
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        G[x].push_back(y+n);
    }
    ans=n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(dfs(i)) ans--;
    }
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i]) print(i);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

4、魔术球问题

这题贪心随便水，但是网络流可做

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m=5000,s=0,t=10000,head[maxn],tot=1,cnt;
int dep[maxn],cur[maxn],vis[maxn],nxt[maxn],ans[maxn];

struct node{
    int to,next,val;
}e[maxn];

inline void add(int x,int y,int w){
    e[++tot].to=y;
    e[tot].val=w;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}

int bfs(int s,int t){
    queue<int> q;
    for(int i=0;i<=t;i++)
        cur[i]=head[i];
    memset(dep,-1,sizeof(dep));
    dep[s]=0;
    q.push(s);
    int u,v;
    while(!q.empty()){
        u=q.front(),q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
            v=e[i].to;
            if(dep[v]==-1&&e[i].val){
                dep[v]=dep[u]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return dep[t]!=-1;
}

int dfs(int now,int t,int limit){
    if(!limit||now==t) return limit;
    int flow=0,f,v;
    for(int i=cur[now];i;i=e[i].next){
        cur[now]=i;v=e[i].to;
        if(dep[v]==dep[now]+1&&(f=dfs(v,t,min(limit,e[i].val)))){
            flow+=f;
            limit-=f;
            e[i].val-=f;
            e[i^1].val+=f;
            if(!limit) break;
        }
    }
    return flow;
}

int Dinic(){
    int maxflow=0;
    while(bfs(s,t))
        maxflow+=dfs(s,t,inf);
    return maxflow;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int now=0,flow=0;
    while(1){
        flow++;now++;
        for(int i=1;i<now;i++)
            if(sqrt(i+now)==(int)sqrt(i+now)){
                add(i,now+m,1);
                add(now+m,i,0);
            }
        add(s,now,1);
        add(now,s,0);
        add(now+m,t,1);
        add(t,now+m,0);
        flow-=Dinic();
        if(flow>n) break;
    }
    printf("%d\n",--now);
    for(int u=1;u<=now;u++){
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
            if(!e[i].val){
                nxt[u]=e[i].to-m;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=now;i++){
        if(!vis[i]){
            for(int u=i;u!=-m;u=nxt[u]){
                vis[u]=1;
                printf("%d ",u);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

5、方格取数问题

奇偶图弄一下，连容量为方格中的数，然后在相邻方格连一条容量为\(inf\)的边

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int inf=1e9;
int n,m,s,t;
struct Edge{
    int to,val,next;
}e[maxn<<1];
int head[maxn],cur[maxn],deep[maxn],tot=1;
int x[4]={0,0,1,-1},y[4]={1,-1,0,0};

void add(int x,int y,int w,int flag)
{
    e[++tot].to=y;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
    if(flag) e[tot].val=w;
}

int bfs(int s,int t)
{
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n*m+2;i++)
        cur[i]=head[i];
    memset(deep,0x7f,sizeof(deep));
    deep[s]=0;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to;
            if(deep[y]>inf&&e[i].val)
            {
                deep[y]=deep[u]+1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    if(deep[t]<inf) 
        return 1;
    return 0;
}

int dfs(int now,int t,int limit)
{
    if(!limit||now==t) return limit;
    int f,flow=0;
    for(int i=cur[now];i;i=e[i].next){
        cur[now]=i;
        if(deep[e[i].to]==deep[now]+1&&(f=dfs(e[i].to,t,min(limit,e[i].val)))){
            flow+=f;
            limit-=f;
            e[i].val-=f;
            e[i^1].val+=f;
            if(!limit) break;
        }
    }
    return flow;
}

int Dinic(){
    int maxflow=0;
    while(bfs(s,t))
        maxflow+=dfs(s,t,inf);
    return maxflow;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);s=n*m+1,t=n*m+2;
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int x;scanf("%d",&x);sum+=x;
            if((i+j)%2==1){add(s,(i-1)*m+j,x,1);add((i-1)*m+j,s,x,0);}
            else {add((i-1)*m+j,t,x,1);add(t,(i-1)*m+j,x,0);}
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if((i+j)%2==1){
                for(int k=0;k<4;k++){
                    int u=i+x[k],v=j+y[k];
                    if(u<1||u>n||v<1||v>m) continue;
                    add((i-1)*m+j,(u-1)*m+v,inf,1);
                    add((u-1)*m+v,(i-1)*m+j,inf,0);
                }
            }
        }
    printf("%d\n",sum-Dinic());
    return 0;
}

6、圆桌问题

比较经典的建图，类似试题库问题，经常结合二分答案+最大流判定（此题不用）

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int inf=1e9;
int n,m,s,t;
struct Edge{
    int to,val,next;
}e[maxn<<1];
int head[maxn],cur[maxn],deep[maxn],tot=1;

void add(int x,int y,int w,int flag)
{
    e[++tot].to=y;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
    if(flag) e[tot].val=w;
}

int bfs(int s,int t)
{
    queue<int> q;
    for(int i=0;i<=n+m+1;i++)
        cur[i]=head[i];
    memset(deep,0x7f,sizeof(deep));
    deep[s]=0;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to;
            if(deep[y]>inf&&e[i].val)
            {
                deep[y]=deep[u]+1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    if(deep[t]<inf) 
        return 1;
    return 0;
}

int dfs(int now,int t,int limit)
{
    if(!limit||now==t) return limit;
    int f,flow=0;
    for(int i=cur[now];i;i=e[i].next){
        cur[now]=i;
        if(deep[e[i].to]==deep[now]+1&&(f=dfs(e[i].to,t,min(limit,e[i].val)))){
            flow+=f;
            limit-=f;
            e[i].val-=f;
            e[i^1].val+=f;
            if(!limit) break;
        }
    }
    return flow;
}

int Dinic(){
    int maxflow=0;
    while(bfs(s,t))
        maxflow+=dfs(s,t,inf);
    return maxflow;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    s=0,t=n+m+1;
    int x,sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);
        add(s,i,x,1);
        add(i,s,x,0);
        sum+=x;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d",&x);
        add(i+n,t,x,1);
        add(t,i+n,x,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            add(i,j+n,1,1);
            add(j+n,i,1,0);
        }
    if(Dinic()==sum){
        printf("1\n");
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=head[i];j;j=e[j].next)
                if(e[j].to>n&&e[j].to<=n+m&&!e[j].val)
                    printf("%d ",e[j].to-n);
            printf("\n");
        }
    }
    else printf("0\n");
    return 0;
}

8、孤岛营救问题

看到题解全是状压+\(bfs\)，我也忍不住打了一个状压+\(bfs\)，一遍过此题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,p,k,s;
int vis[11][11][1<<11];
int mp[11][11][11][11];
int now[11][11],nx[4]={1,-1,0,0},ny[4]={0,0,1,-1};

struct point{
    int x,y,sta,step;
};

int bfs(){
    queue<point> q;
    vis[0][0][0]=1;
    q.push((point){1,1,0,0});
    point u;int x,y,k;
    while(!q.empty()){
        u=q.front(),q.pop();
        if(u.x==n&&u.y==m) return u.step;
        for(k=0;k<4;k++){
            x=u.x+nx[k];y=u.y+ny[k];
            if(x<1||x>n||y<1||y>m||vis[x][y][u.sta|now[x][y]]) continue;
            if(mp[u.x][u.y][x][y]==-1) continue;
            if(mp[u.x][u.y][x][y]>0&&!(u.sta&(1<<mp[u.x][u.y][x][y]))) continue;
            vis[x][y][u.sta|now[x][y]]=1;
            q.push((point){x,y,u.sta|now[x][y],u.step+1});
        }
    }
    return -1;
    
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    scanf("%d",&k);
    int x1,y1,x2,y2,g,x,y,q;
    for(int i=0;i<k;i++){
        scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&g);
        if(!g) mp[x1][y1][x2][y2]=mp[x2][y2][x1][y1]=-1;
        else mp[x1][y1][x2][y2]=mp[x2][y2][x1][y1]=g;
    }
    scanf("%d",&s);
    for(int i=0;i<s;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&q);
        now[x][y]|=1<<q;
    }
    printf("%d\n",bfs());
    return 0;
}

9、分配问题

二分图最佳完美匹配，可以类似网络流跑二分图跑两遍费用流，容量全部为\(1\)，涉及超级源超级汇费用为\(0\)，其他情况费用为\(c_{ij}\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
const int maxm=20000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,s,t,a[maxn][maxn],head[maxn],tot=1,maxflow,mincost;
int pre[maxn],last[maxn],flow[maxn],dis[maxn],vis[maxn];

struct node{
    int to,next,flow,val;
}e[maxm];

inline void add(int x,int y,int w,int f){
    e[++tot].to=y;
    e[tot].flow=w;
    e[tot].val=f;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}

int spfa(){
    memset(dis,inf,sizeof(dis));
    memset(flow,inf,sizeof(flow));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int> q;
    q.push(s);dis[s]=0;vis[s]=1;pre[t]=-1;
    int u,v;
    while(!q.empty()){
        u=q.front(),q.pop();vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
            v=e[i].to;
            if(e[i].flow&&dis[v]>dis[u]+e[i].val){
                dis[v]=dis[u]+e[i].val;
                flow[v]=min(flow[u],e[i].flow);
                pre[v]=u;last[v]=i;
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return pre[t]!=-1;
}

void mcmf(){
    int now;
    while(spfa()){
        now=t;
        maxflow+=flow[t];
        mincost+=flow[t]*dis[t];
        while(now!=s){
            e[last[now]].flow-=flow[t];
            e[last[now]^1].flow+=flow[t];
            now=pre[now];
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int f;s=0;t=n<<1|1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            add(i,j+n,1,a[i][j]);add(j+n,i,0,-a[i][j]);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        add(s,i,1,0);add(i,s,0,0);
        add(i+n,t,1,0);add(t,i+n,0,0);
    }
    mcmf();
    printf("%d\n",mincost);
    tot=1;memset(head,0,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            add(i,j+n,1,-a[i][j]);add(j+n,i,0,a[i][j]);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        add(s,i,1,0);add(i,s,0,0);
        add(i+n,t,1,0);add(t,i+n,0,0);
    }
    maxflow=mincost=0;
    mcmf();
    printf("%d\n",-mincost);
    return 0;
}

10、运输问题

此题是上题的加强版，其他都一样，就是涉及超级源和超级汇的容量是输入的\(a_i\)和\(b_j\)，因为\(\sum_{i=1}^{m}a_i=\sum_{j=1}^{n}b_j\)，所以就是求满流的情况下的最小费用和最大费用，跑两遍费用流

最后就是最大费用边连成负边，最后\(-mincost\)就是最大费用

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=200+10;
const int maxm=30000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,s,t,a[maxn],b[maxn],c[maxn][maxn],head[maxn],tot=1,maxflow,mincost;
int dis[maxn],vis[maxn],flow[maxn],pre[maxn],last[maxn];

struct node{
    int to,next,flow,val;
}e[maxm];

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}
inline void add(int x,int y,int w,int f){
    e[++tot].to=y;
    e[tot].flow=w;
    e[tot].val=f;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}

int spfa(){
    memset(dis,inf,sizeof(dis));
    memset(flow,inf,sizeof(flow));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int> q;
    q.push(s);dis[s]=0;vis[s]=1;pre[t]=-1;
    int u,v;
    while(!q.empty()){
        u=q.front(),q.pop();vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
            v=e[i].to;
            if(e[i].flow>0&&dis[v]>dis[u]+e[i].val){
                dis[v]=dis[u]+e[i].val;
                flow[v]=min(flow[u],e[i].flow);
                pre[v]=u;last[v]=i;
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return pre[t]!=-1;
}

void mcmf(){
    int now;
    while(spfa()){
        now=t;
        maxflow+=flow[t];
        mincost+=flow[t]*dis[t];
        while(now!=s){
            e[last[now]].flow-=flow[t];
            e[last[now]^1].flow+=flow[t];
            now=pre[now];
        }
    }
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    s=0,t=n+m+1;
    int f;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++) c[i][j]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) add(s,i,a[i],0),add(i,s,0,0);
    for(int i=1;i<=m;i++) add(i+n,t,b[i],0),add(t,i+n,0,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++) add(i,j+n,inf,c[i][j]),add(j+n,i,0,-c[i][j]);
    mcmf();
    printf("%d\n",mincost);
    tot=1;memset(head,0,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;i++) add(s,i,a[i],0),add(i,s,0,0);
    for(int i=1;i<=m;i++) add(i+n,t,b[i],0),add(t,i+n,0,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++) add(i,j+n,inf,-c[i][j]),add(j+n,i,0,c[i][j]);
    maxflow=mincost=0;
    mcmf();
    printf("%d\n",-mincost);
    return 0;
}
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sizeof
flow
memset
printf
scanf
const
dfs
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