动态规划最大子数组和到最大子矩阵

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1. 定义

   • 大问题可以分成若干个独立的小问题叫做动态规划。
   • 大问题可以分成若干个需要重复计算的问题叫做分治。

2. 拓展

   动态规划可以是单向，可以是横纵结合。

   • 单向:最大子数组问题
   • 结合:最大子矩阵问题

3. 最大子数组问题

   • 假设m-n的和最大，则有max = rangesum(m,n),且有，rangesum(0-m)<0,range(n,len)<0

   现实生活中，就是买股票，在最低价的时候买入，在最高价格的时候抛出，形成利益最大化。

   	int MaxSum(int n,int *a)
   	{
   		int sum=a[0],presum=0;
   		for(int i=0; i<n; i++)
   		{
   			if(presum>0)
   			{
   				presum+=a[i]; //对于前面的和大于0，说明是仍处于盈利状态
   			}
   			else
   			{
   				presum=a[i]; // 如果小于0，说明出现了亏损。那么这个时候及时止损。
   			}
   			if(presum>sum)
   			{
   				sum = presum; //0-i出现的最大sum，也就是出现的总体增。
   			}
   		}
   		return sum;
   	}
   

   • sum记录最优解

   • presum继续做试探求解。

4. 最大子矩阵

   	#include<stdio.h>
   	#define N 102
   	int map[N][N]={0};
   
   	int getMax(int (*a)[N],int n,int (*b)[N])
   	{
   		int i,sum=a[0][1]-b[0][1],t=0;
   		for(i=1;i<=n;i++)
   		{
   			if(t>0)
   			{
   				t+=(*a)[i]-(*b)[i];
   			}
   			else
   			{
   				t=(*a)[i]-(*b)[i];
   			}
   			sum=t>sum?t:sum;
   		}
   		return sum;
   	}
   
   	int main()
   	{
   		int m,n,p,i,j,k,max;
   		scanf("%d%d",&m,&n);
   		for(i=1;i<=m;i++)
   		{
   			for(j=1;j<=n;j++)
   			{
   				scanf("%d",&map[i][j]);
   				map[i][j]+=map[i-1][j];
   				//数组树的方式存储,任意两个节点的差是这两个节点之间的和。方便后续运算。
   			}
   		}
   
   		max = map[1][1];
   		for(i=1;i<=m;i++)
   		{
   			for(j=i;j<=m;j++)
   			{
   				k=getMax((int (*)[102])map[j],n,(int (*)[102])map[i-1]);
   				// 同样的动态规划策略，求解 从 i行到j行的 最大子矩阵和。
   				// 多了一层j循环，也就是多了一个纵向的变化 横向 a[i] 值。
   				// 用了同样的策略。
   				// 动态规划主要是问题分析，拆分，关联。
   				// 求解 高度为 j-i (j-i的和) 的 最大子数组和 。
   				max=max>k?max:k;
   			}
   		}
   		printf("%d\n",max);
   		return 0;
   	}
   

来源：oschina

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