素数（质数）：一个正整数n,除了1和其本身外不能被其他任何数整除，否则成为合数。
1 既不是素数也不是合数。
素数的判断：
对于一个整数n，判断素数要判断其是否能被2，3，…， n-1范围内的数整除，时间复杂度是O(n),但是这样会多出很多的运算。如果一个整数k可以被n整除，由于k*(n/k)==n，所以n/k也能被n整除，且两个数一定满足其中一个小于等于sqrt(n),所以在遍历判断时只需要遍历到sqrt(n)就可以了。
bool isPrime(int n){
if(n <= 1) return false; //特判
int sqr = (int)sqrt(1.0*n); //对n取根号
for(int i=2; i<=sqr; i++){
if(n % i == 0) return false;
}
return true; //n 是素数
}
由上面的思路，我们可以使用打表的技巧，将从1~n之间的每个数进行判断，如果是素数就加入素数表。方便之后的查找使用。
//求素数表
const int maxn = 101; //表长
int prime[maxn], pNum = 0; //prime数组存放所有素数，pNum为素数个数
bool p[maxn] = {0} ; // p[i] == true 表示i是素数
void Find_Prime(){
for(int i= 1; i< maxn; i++){
if(isPrime(i) == true){
prime[pNum++] = i; //是素数则放入Prime数组
p[i] = true;
}
}
}
下面是求0-100以内所有素数的完整代码：100以内素数的代码
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
//求0-100以内的所有素数
bool isPrime(int n){
if(n <= 1) return false; //特判
int sqr = (int)sqrt(1.0*n); //对n取根号
for(int i=2; i<=sqr; i++){
if(n % i == 0) return false;
}
return true; //n 是素数
}
//求素数表
const int maxn = 101; //表长
int prime[maxn], pNum = 0; //prime数组存放所有素数，pNum为素数个数
bool p[maxn] = {0} ; // p[i] == true 表示i是素数
void Find_Prime(){
for(int i= 1; i< maxn; i++){
if(isPrime(i) == true){
prime[pNum++] = i; //是素数则放入Prime数组
p[i] = true;
}
}
}
int main(){
Find_Prime();
for(int i=0;i<pNum; i++){
printf("%d ", prime[i]);
}
}
上面的方法只适用于n在〖10〗^5 以内的数，再大的数字就不能承受了，所以可以使用下面的方法，素数筛选法，“埃氏筛法”是比较容易理解的一种，时间复杂度为O(nloglogn)。
算法思路是：从小到大枚举所有数，对每一个素数，筛去他的所有倍数，剩下的就都是素数了。因为当遍历到a,如果a不是素数，那么a一定有小于a的素数因子，这样之前的步骤中a一定会被筛掉，所以如果没有被筛掉，则一定是素数。初始时，先确定一个素数，可以从2开始。
下面的代码时输出任意第m-n个素数的代码，如下
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 1000001; //表长
int prime[maxn], pNum = 0;
bool p[maxn] = {0}; //标记是否为素数，如果被筛掉则设为true
void Find_Prime(int n){
for(int i = 2; i < maxn; i++){
if(p[i] == false){
prime[pNum++] = i;
if(pNum >= n) break; //只需要n个素数
for(int j = i+i; j < maxn; j += i){ //筛去i的所有倍数，即让j每次加上i
p[j] = true;
}
}
}
}
int main(){
int m, n, count = 0;
scanf("%d %d", &m, &n);
Find_Prime(n);
for(int i=m; i<=n; i++){
printf("%d", prime[i-1]);
count++;
if(count % 10 != 0 && i < n) printf(" ");
else printf("\n");
}
return 0;
}
质因子分解：
即把一个正整数写成一个或多个质数相乘的形式。所以可以使用上面打印出来的素数表，并且由于每个质因子都可以不出现一次，所以可以定义一个结构体factor，如下所示：
struct factor{
int x, cnt; //x为质因子， cnt为其个数
}fac[10];
下面的代码时求解PAT A1059题，给定一个正整数N，然后对其进行质因数分解。
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
bool is_prime(int n){
if(n == 1) return false;
int sqr = (int)sqrt(n*1.0);
for(int i=2; i <= sqr; i++){
if(n % i == 0) return false;
}
return true;
}
int prime[maxn], pNum=0;
void Find_Prime(){
for(int i = 1;i < maxn; i++){
if(is_prime(i) == true){
prime[pNum++] = i;
}
}
}
struct factor{
int x, cnt; //x为质因子， cnt为其个数
}fac[10];
int main(){
Find_Prime();
int n, num = 0;
scanf("%d", &n);
if(n == 1) printf("1=1"); //特判1的情况
else{
printf("%d=" , n);
int sqr = (int)sqrt(n*1.0);
for(int i=0;i<pNum && prime[i] <= sqr; i++){ //枚举根号n以内的素数
if(n % prime[i] == 0) { //如果prime[i]是n的因子
fac[num].x = prime[i]; //先放入质因子数组
fac[num].cnt = 0;
//计算出质因子prime[i]的个数
while(n % prime[i] == 0){
fac[num].cnt++;
n /= prime[i];
}
num++; //不同质因子个数加1
}
if(n == 1) break; //及时跳出循环
}
//如果不能被根号n以内的质因子除尽
if(n != 1) {
fac[num].x = n; //一定有一个大于根号n的因子即其本身
fac[num++].cnt = 1;
}
//按格式输出
for(int i = 0;i < num; i++){
if(i > 0) printf("*");
printf("%d", fac[i].x);
if(fac[i].cnt > 1){
printf("^%d",fac[i].cnt);
}
}
}
return 0;
}
最后记录一个结论：如果要求一个正整数N的因子个数，那么只需要得到各质因子pi的个数e1，e2，…，ek,于是N的因子个数就是（e1+1) * (e2+1)* … *(ek+1)。原因是对每个质因子pi都可以选择其出现0次，1次，…,ei次，共(ei+1)种可能，所以可以有很多种组合，组合起来就是就是答案；
参考资料： 《算法笔记》 胡凡/曾磊
来源：https://www.cnblogs.com/hhhuang/p/12034693.html