date: 2019-09-13
简介
标题看着很高端，其实就是在\(O(\log_2 N)\)内计算出线性递归数列的某一项（好像什么都没有解释清楚啊）。
斐波那契数列的快速计算
我们先来看一个题目：
题目描述：
给你一个数字\(n\)，你需要输出斐波那契数列的第n项。
注意：第一项和第二项都为\(1\)。
题目输入：
第一行一个整数\(n\)，保证$1 \leq n \leq 1e18 $。
题目输出：
输出斐波那契数列的第n项，对\(1e9+7\)取模。
这道题目小数据范围内很简单（一道水题），但是当数据范围扩展到\(1 \leq n \leq 1e18\)时，一切都不一样了。你需要一个\(O(N \log_2 N)\)的算法来解决它。这里我们需要用到矩阵运算。
递推式
斐波那契数列的递推式这个大家应该都会写吧。。。
算了我还是来写一下好了：
\[
f_{i}=f_{i-1}+f_{i-2}\\
f_{0}=1\\
f_{1}=1
\]
转化为矩阵计算
这里我们把计算\(f_0\)和\(f_1\)包含在一个2行1列的矩阵中：
\[
\begin{pmatrix}
f_{0}\\
f_{1}
\end{pmatrix}
\]
之后我们可以得出如下的式子：
\[
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f_{0}\\
f_{1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
f_{1}\\
f_{2}
\end{pmatrix}
\]
之后我们又可以得出如下的式子：
\[
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&1
\end{pmatrix}
(
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f_{0}\\
f_{1}
\end{pmatrix}
)
=
\begin{pmatrix}
f_{2}\\
f_{3}
\end{pmatrix}
\]
由于矩阵的结合律，我们又可以写成：
\[
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&1
\end{pmatrix}^2
\begin{pmatrix}
f_{0}\\
f_{1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
f_{2}\\
f_{3}
\end{pmatrix}
\]
之后一步步递推，就获得了：
\[
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&1
\end{pmatrix}^n
\begin{pmatrix}
f_{0}\\
f_{1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
f_{n}\\
f_{n+1}
\end{pmatrix}
\]
锵锵~我们就获得了一个复杂度大头是矩阵幂运算的递推式了。众所周知，由于结合律，幂运算可以优化到\(O(N\log_2 N)\)，这是可以接受的。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
vector<vector<ll> > mul(const vector<vector<ll> > & a,const vector<vector<ll> > & b){
vector<vector<ll> > res(2,vector<ll>(2,0));
res[0][0]=(a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0])%mod;
res[0][1]=(a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1])%mod;
res[1][0]=(a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0])%mod;
res[1][1]=(a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1])%mod;
return res;
}
vector<vector<ll> > pow(vector<vector<ll> > a,ll n){
vector<vector<ll> > res(2,vector<ll>(2,0));
res[0][0]=1;
res[1][1]=1;
while(n>0){
if(n&1){
res=mul(res,a);
}
a=mul(a,a);
n>>=1;
}
return res;
}
ll n;
main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n;
vector<vector<ll> > a(2,vector<ll>(2,1));
a[0][0]=0;
a=pow(a,n);
cout<<a[0][1]<<endl;
return 0;
}
扩展至通用
递推式
直接上数学式：
\[
f_{i+M}=a_0f_{i}+a_1f_{i+1}+\cdots+a_{M-2}f_{i+M-2}+a_{M-1}f_{i+M-1}
\]
矩阵计算
首先，我们把这个数学式定义为一个\(M\)行\(1\)列的矩阵：
\[
\begin{pmatrix}
f_i\\
f_{i+1}\\
f_{i+2}\\
\vdots\\
f_{i+M-2}\\
f_{i+M-1}
\end{pmatrix}
\]
之后，递推式就可以这么写了：（\(a_k\)表示\(f_{i+M}\)加上了\(a_k f_{i+k}\)）
\[
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\
a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{M-2} & a_{M-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f_i\\
f_{i+1}\\
f_{i+2}\\
\vdots\\
f_{i+M-2}\\
f_{i+M-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
f_{i+1}\\
f_{i+2}\\
f_{i+3}\\
\vdots\\
f_{i+M-1}\\
f_{i+M}
\end{pmatrix}
\]
由于结合律，递推式可以写成：
\[
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\
a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{M-2} & a_{M-1}
\end{pmatrix}^n
\begin{pmatrix}
f_0\\
f_{1}\\
f_{2}\\
\vdots\\
f_{M-2}\\
f_{M-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
f_{n}\\
f_{n+1}\\
f_{n+2}\\
\vdots\\
f_{n+M-2}\\
f_{n+M-1}
\end{pmatrix}
\]
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来源：https://www.cnblogs.com/BlahDuckling747/p/12019569.html