每日一题_191204

已知函数\(f(x)=(ax+{\ln}x)\cdot(x-{\ln}x)-x^2\)有三个不同的零点\(x_1,x_2,x_3\) \((\)其中\(x_1<x_2<x_3)\),则\(\left(1-\dfrac{{\ln}x_1}{x_1}\right)^2\left(1-\dfrac{{\ln}x_2}{x_2}\right)\left(1-\dfrac{{\ln}x_3}{x_3}\right)\)的值为\((\qquad)\)
\(\mathrm{A}. 1-a\) \(\qquad \mathrm{B}.a-1\) \(\qquad \mathrm{C}.-1\) \(\qquad \mathrm{D}.1\)

若记\[t(x)=\dfrac{{\ln}x}{x},x>0.\]则\(t\)的取值范围为\(\left(-\infty,\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right]\),则由\(f(x)=0\)可得关于\(t\)的一元二次方程\[ t^2=(1-a)(t-1),t\leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]如下图绘制出二次函数\(y=t^2,t\leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}}\)与\(y=(1-a)(t-1)\)的图象,若要使得\(f(x)\)有三个不同的零点,<p style="text-align:center;”>

则要求关于\(t\)的一元二次方程在\(\left(-\infty,\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right]\)上有两个不等的实根,因此关于\(t\)的方程有两解\(t_1,t_2\),满足\[ t_1<0<t_2,t_1+t_2=1-a,t_1t_2=1-a.\]再结合\(t(x)=\dfrac{{\ln}x}{x}\)的图象,可知\[t_1=t(x_1),t_2=t(x_2)=t(x_3).\]<p style="text-align:center;”>从而所求表达式为\[ (1-t_1)^2(1-t_2)^2=\left[1-(t_1+t_2)+t_1t_2\right]^2=1.\]

来源：https://www.cnblogs.com/Math521/p/11991569.html