题面
题解
平面图上网络流转最短路。
题意可转化为求左上角到右下角的最大流。根据最大流最小割定理，网络流中最大流的值等于最小割的容量。由于本题中给出的网络流是平面图，可以用最短路在几何意义上算出最小割：
对每一个封闭区域 \(u\) 建点 \(u'\)，对每两个相接的封闭区域 \(u,v\) 的公共边 \(e\) 建边 \(e'\) 连接 \(u',v'\)，\(e'\) 的权值等于 \(e\) 的流量，如果把选取 \(e'\) 看作割断 \(e\)，那么求网络流的最小割就可以等效为选取权值和尽可能小的 \(e'\)，使得图的左下方和右上方联通，而这个问题可以用最短路来解决。复杂度 \(O(nm\log(nm))\)。