下面是本文对图操作的小结：
| 邻接表 | 邻接矩阵 | |
|---|---|---|
| 空间复杂度 | O(|V|+ |E|) | O(|V|²) |
| 添加顶点 | O(1) | O(|V|²) |
| 移除顶点 | O(|V| + |E|) | O(|V|)² |
| 添加边 | O(1) | O(1) |
| 移除边 (基于 Array 实现) | O(|E|) | O(1) |
| 移除边 (基于 HashSet 实现) | O(1) | O(1 |
| 获取相邻的顶点 | O(|E|) | O(|V|) |
| 判断是否相邻 (基于 Array 实现) | O(|E|) | O(1) |
| 判断是否相邻 (基于 HashSet 实现) | O(1) | O(1) |
图的基础
图是一种（包含若干个节点），每个节点可以连接 0 个或多个元素
两个节点相连的部分称为边（edge）。节点也被称作顶点（vertice）。
一个顶点的 度（degree）是指与该顶点相连的边的条数。比如上图中，紫色顶点的度是 3，蓝色顶点的度是 1。
如果所有的边都是双向（译者注：或者理解为没有方向）的，那我们就有了一个无向图（undirected graph）。反之如果边是有向的，我们得到的就是有向图（directed graph）。你可以将有向图和无向图想象为单行道或双行道组成的交通网。
此外，无环无向图也被称为树（tree）。
在图中，从一个顶点出发，并非所有顶点都是可到达的。可能会存在孤立的顶点或者是相分离的子图。如果一个图所有顶点都至少有一条边（译者注：原文表述有点奇怪，个人认为不应该是至少有一条边，而是从任一节点出发，沿着各条边可以访问图中任意节点），这样的图被称为连通图（connected graph）。而当一个图中两两不同的顶点之间都恰有一条边相连，这样的图就是完全图（complete graph）。
对于完全图而言，每个顶点都有 图的顶点数 - 1 条边。在上面完全图的例子中，一共有7个顶点，因此每个顶点有6条边。
图的应用
当图的每条边都被分配了权重时，我们就有了一个加权图（weighted graph）。如果边的权重被忽略，那么可以将（每条边的）权重都视为 1（译者注：权重都是一样，也就是无权重）。
加权图应用的场景很多，根据待解决问题主体的不同，有不同的展现。一起来看一些具体的场景吧：
-
航空线路图 (如上图所示)
- 顶点 = 机场
- 边 = 两个机场间的飞行线路
- 权重 = 两个机场间的距离
-
GPS 导航
- 顶点 = 交叉路口
- 边 = 道路
- 权重 = 从一个路口到另一个路口所花的时间
-
网络
- 顶点 = 服务器
- 边 = 数据链路
- 权重 = 连接速度
一般而言， 图在现实世界中的应用有：
- 电子电路
- 航空控制
- 行车导航
- 电信设施： 基站建设规划
- 社交网络： Facebook 利用图来推荐（你可能认识的）朋友
- 推荐系统： Amazon/Netflix 利用图来推荐产品与电影
- 利用图来规划物流线路
我们学习了图的基础以及它的一些应用场景。接下来一起学习怎么使用代码来表示图。
图的表示
图的表示有两种主要方式：
- 邻接表
- 邻接矩阵
让我们以有向图为例子，阐述这两种表示方式：
这是一个拥有四个顶点的图。当一个顶点有一条边指向它自身时（译者注：即闭合的路径），称之为自环（self-loop）。
邻接矩阵
邻接矩阵使用二维数组（N x N）来表示图。如若不同顶点存在连接的边，就赋值两顶点交汇处为1（也可以是这条边的权重），反之赋值为 0 或者 -。
我们可以通过建立以下的邻接矩阵，来表示上面的图：
a b c d e
a 1 1 - - -
b - - 1 - -
c - - - 1 -
d - 1 1 - -
如你所见，矩阵水平与垂直两个方向都列出了所有的顶点。如果图中只有很少顶点互相连接，那么这个图就是稀疏图（sparse graph）。如果图相连的顶点很多（接近两两顶点都相连）的话，我们称这种图为稠密图（dense graph）。而如果图的每个顶点都直接连接到除此之外的所有顶点，那就是一个完全图（complete graph）。
注意，你必须意识到对于无向图而言，邻接矩阵始终是对角线对称的。然而，对于有向图而言，并非总是如此（反例如上面的有向图）。
那查询两个顶点是否相邻的时间复杂度是什么呢？
在邻接矩阵中，查询两个顶点是否相邻的时间复杂度是 O(1)。那空间复杂度呢？
利用邻接矩阵存储一个图，空间复杂度是 O(n²)，n 为顶点的数量，因此也可以表示为 O(|V|²)。
添加一个顶点的时间复杂度呢？
邻接矩阵根据顶点的数量存储为 V x V 的矩阵。因此每增加一个顶点，矩阵需要重建为 V+1 x V+1 的新矩阵。
（因此，）在邻接矩阵中添加一个顶点的时间复杂度是 O(|V|²)。
如何获取相邻的顶点？
由于邻接矩阵是一个 V x V 的矩阵，为了获取所有相邻的顶点，我们必须去到该顶点所在的行中，查询它与其他顶点是否有边。
以上面的邻接矩阵为例，假设我们想知道与顶点 b 相邻的顶点有哪些，就需要到达记录 b 与其他节点关系的那一行中进行查询。
a b c d e
b - - 1 - -
访问它与其他所有顶点的关系，因此：
在邻接矩阵中，查询相邻顶点的时间复杂度是 O(|V|)。
想象一下，如果你需要将 FaceBook 中人们的关系网表示为一个图。你必须建立一个 20亿 x 20亿 的邻接矩阵，而该矩阵中很多位置都是空的。没有任何人可能认识其他所有人，最多也就认识几千个人。
通常，我们使用邻接矩阵处理稀疏图时，会浪费很多空间。这就是大多时候使用邻接表而不是邻接矩阵去表示一个图的原因（译者注：邻接矩阵也有优势的，尤其是表示有向稠密图时，比邻接表要方便得多）。
邻接表
表示一个图，最常用的方式是邻接表。每个顶点都有一个记录着与它所相邻顶点的表。
可以使用一个数组或者 HashMap 来建立一个邻接表，它存储这所有的顶点。每个顶点都有一个列表（可以是数组、链表、集合等数据结构），存放着与其相邻的顶点。
例如上面的图，对于顶点 a，与之相邻的有顶点 b，同时也是自环；而顶点 b 则有指向顶点 c 的边，如此类推：
a -> { a b }
b -> { c }
c -> { d }
d -> { b c }
和想象中的一样，如果想知道一个顶点是否连接着其他顶点，就必须遍历（顶点的）整个列表。
在邻接表中查询两个顶点是否相连的时间复杂度是 O(n)，n 为顶点的数量，因此也可以表示为 O(|V|)。
那空间复杂度呢？
利用邻接表存储一个图的空间复杂度是 O(n)，n 为顶点数量与边数量之和，因此也可以表示为 O(|V| + |E|)。