题意
有\(n\)个人，每个人有一个能力值\(a_i\)（\(a\)互不相同），有\(2^m\)场比赛\([0,2^m)\)，每场比赛一个人的得分为\(a_i \xor j\)，按照得分排序，每个人获得排名\(^2\)的积分，求每个人的积分\(q\% (10^9+7)\)后的异或和，\((n\leq 200000,m\leq 30)\)
思路
考场上的解法，并非最优解法qwq
由于有取模操作，只能一个个人的处理，且可以看出是要一位位的处理问题的
假设当前处理到第i个人，设\(k_j\)为能力值在二进制下更高位与i一样，第j位不同的人数，（由这个定义可知\(\sum{k_j}=n-1\)，即除i外的每个人会且仅会被统计一次）
暂时不管\(k\)怎么求，可以发现两个数之间的大小关系仅由从高向低第一个不同的位（即上面\(k\)的定义），对于一个\(j\)，如果第\(j\)位和第\(i\)个人一样，那么他就比不过那\(k_j\)个人，即排名\(+k_j\)，否则排名不会增加；而第\(j\)位是0或1的概率相等，所以第\(i\)个人取或不取\(k_j\)的概率相同，那么第\(i\)个人的积分为\(0 + k_1^2 + k_2^2 +....+k_m^2 + (k_1+k_2)^2 + (k_1+k_2)^2 + .......(k_1+k_2+...+k_m)^2\)（就像搜索m个数选或不选一样）
这个式子可以化简，而我比较懒，并没有化简完...
\[q=\sum_{i=1}^{m} { k_i (2^{m-1}k_i + \frac{\sum_{m-i}^i \times i}{m-i} \times(n-1-k_i)) }\]
预处理一些东西之后这个式子可以\(O(m)\)求
扯了那么多，到底怎么求\(k\)啊
其实求\(k\)很简单，我的方法是对\(a_i\)排个序之后从高位到低位模拟即可，因为需要二分所以图方便用了个\(lb\)
时间复杂度\(O(nlog^2n)\)，复杂度瓶颈为求\(k\)，理论上可以过，实际上我自测的时候忘记关编译选项里面的\(O2\)了，结果跑了个0.6s还以为随便过。。。
成功被卡常到2.9s（STL常数好大qwq），把\(lb\)换成手写二分即可0.5s过此题
正解是\(O(nlogn)\)的trie，懒得打，看起来又是套路2333
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define N 200005
#define re register
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1000000007;
int n,m; ll a[N];
ll k[35],ans=0;
ll C[35][35],sum,po;
template <class T>
void read(T &x)
{
char c; int sign=1;
while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}
ll quickpow(ll a,ll b)
{
ll ret=1;
while(b)
{
if(b&1) ret=ret*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ret;
}
void init()//预处理一堆乱七八糟的东西
{
C[0][0]=C[1][0]=C[1][1]=1;
for(int i=2;i<=30;++i)
{
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;++j) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
}
for(int i=1;i<m;++i) sum=(sum+C[m-1][i]*i%mod)%mod;
sum=sum*quickpow(m-1,mod-2)%mod;
po=quickpow(2,m-1);
}
int find(int x)
{
re int l=1,r=n,ret=n+1;
while(l<=r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(a[mid]>=x) ret=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
return ret;
}
void getk(int x)//求与x的每一位不同的数个数：要求sigma(ki)=n-1
{
ll now=0;//前面相等的位都 >=now
for(re int i=m-1;i>=0;--i)//求ki
{
if(x>>i&1)//这一位不同:[ now,now+(1<<i) )
{
int r=find(now+(1<<i))-1;//右边第一个
int l=find(now);//左边第一个
k[i]=(r-l+1);
now+=(1<<i);
}
else//这一位不同:[ now+(1<<i),now+(1<<(i+1)) )
{
int r=find(now+(1<<(i+1)))-1;
int l=find(now+(1<<i));
k[i]=(r-l+1);
}
}
}
int main()
{
freopen("race.in","r",stdin);
freopen("race.out","w",stdout);
read(n);read(m);
for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
sort(a+1,a+n+1);
init();
for(re int i=1;i<=n;++i)
{
getk(a[i]);
ll pts=0;
for(re int j=0;j<m;++j) pts=(pts+k[j]*((po*k[j]%mod + sum*(n-1-k[j])%mod)%mod)%mod)%mod;
pts=(pts%mod+mod)%mod;
ans^=pts;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}