问题描述
给定一个有\(n\)个结点,\(m\)条边的有向图，求从s到t的所有不同路径中的第k短路径的长度。此问题可以用于城市导航(一般会给出几条路径让人选择)
\(A*\)算法
背景
\(A*\) 算法不仅在解决路径搜索相关的应用中十分普遍，包括网络路由算法、机器人探路、人工智能、游戏设计等,而且在\(GIS\)的交通路线导航、路径分析领域应用更加广泛。它是人工智能领域的一种图搜索策略，采用了启发式函数对搜索过程中产生的分支进行评估，以选择最佳的分支进行搜索。它实现关键在于建立一个合适的估价函数。估价函数构造得越准确，则搜索策略越优。
如何用\(A*\)算法求第k短路
\(A*\)算法定义了一个对当前状态\(x\)的估价函数\(f(x)=g(x)+h(x)\)，其中\(g(x)\)为从初始状态到达当前状态的实际代价,\(h(x)\)为从当前状态到达目标状态的最佳路径的估计代价。每次取出\(f(x)\)优的状态\(x\)，扩展其所有子状态，可以用优先队列来维护这个值。
在求解\(k\)短路问题时，令\(h(x)\)为从当前结点到达终点\(t\)的最短路径长度。可以通过在反向图上对结点\(t\)跑单源最短路预处理出对每个结点的这个值。
由于设计的距离函数和估价函数，对于每个状态需要记录两个值，为当前到达的结点\(x\)和已经走过的距离\(g(x)\)，将这种状态记为\((x,g(x))\)。
开始我们将初始状态\((s,0)\)加入优先队列。每次我们取出估价函数\(f(x)=g(x)+h(x)\)最小的一个状态，枚举该状态到达的结点\(x\)的所有出边，将对应的子状态加入优先队列。当我们访问到一个结点第\(k\)次时，对应的状态的\(g(x)\)就是从\(x\)到该结点的第\(k\)短路。
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 5010;
const int maxm = 400010;
const int inf = 2e9;
int n, m, s, t, k, u, v, ww, H[maxn], cnt[maxn];
int cur, h[maxn], nxt[maxm], p[maxm], w[maxm];
int cur1, h1[maxn], nxt1[maxm], p1[maxm], w1[maxm];
bool tf[maxn];
void add_edge(int x, int y, double z) {
cur++;
nxt[cur] = h[x];
h[x] = cur;
p[cur] = y;
w[cur] = z;
}
void add_edge1(int x, int y, double z) {
cur1++;
nxt1[cur1] = h1[x];
h1[x] = cur1;
p1[cur1] = y;
w1[cur1] = z;
}
struct node {
int x, v;
bool operator<(node a) const { return v + H[x] > a.v + H[a.x]; }
};
priority_queue<node> q;
struct node2 {
int x, v;
bool operator<(node2 a) const { return v > a.v; }
} x;
priority_queue<node2> Q;
int main() {
scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t, &k);
while (m--) {
scanf("%d%d%d", &u, &v, &ww);
add_edge(u, v, ww);
add_edge1(v, u, ww);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) H[i] = inf;
Q.push({t, 0});
while (!Q.empty()) {
x = Q.top();
Q.pop();
if (tf[x.x]) continue;
tf[x.x] = true;
H[x.x] = x.v;
for (int j = h1[x.x]; j; j = nxt1[j]) Q.push({p1[j], x.v + w1[j]});
}
q.push({s, 0});
while (!q.empty()) {
node x = q.top();
q.pop();
cnt[x.x]++;
if (x.x == t && cnt[x.x] == k) {
printf("%d\n", x.v);
return 0;
}
if (cnt[x.x] > k) continue;
for (int j = h[x.x]; j; j = nxt[j]) q.push({p[j], x.v + w[j]});
}
printf("-1\n");
return 0;
}