若对于任意正实数\(x\),都有\({\ln}x-a\mathrm{e}x-b+1\leqslant 0\)成立\((\mathrm{e}\)为自然对数的底数\()\),则\(a+b\)的最小值为\(\underline{\qquad\qquad}.\)
解析
记题中所给不等式左侧为\(f(x)\).显然\(a>0\),否则,总存在\(x=\mathrm{e}^b\)使得\[
f(x)=b-a\mathrm{e}x-b+1>0.\]不符题设.因此当\(a>0\)时我们有\[
f(x)\leqslant f\left(\dfrac{1}{a\mathrm{e}}\right) =-{\ln}a-1-b\leqslant 0. \]从而\(b\geqslant -{\ln}a-1\).于是\[
a+b\geqslant a-1-{\ln}a\geqslant 0.\]因此当且仅当\((a,b)=(1,-1)\)时,\(a+b\)取得最小值\(0\).