最小生成树

学习最小生成树算法之前我们先来了解下 下面这些概念： 树 （Tree）：如果一个无向连通图中不存在回路，则这种图称为树。 生成树 （Spanning Tree）：无向连通图G的一个子图如果是一颗包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。 生成树是连通图的极小连通子图。这里所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一条回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。 最小生成树 （Minimum Spanning Tree，MST）：或者称为最小代价树Minimum-cost Spanning Tree:对无向连通图的生成树，各边的权值总和称为生成树的权，权最小的生成树称为最小生成树。 构成生成树的准则有三条： <1> 必须只使用该网络中的边来构造最小生成树。 <2> 必须使用且仅使用n-1条边来连接网络中的n个顶点 <3> 不能使用产生回路的边。 构造最小生成树的算法主要有：克鲁斯卡尔（Kruskal）算法和普利姆（Prim）算法他们都遵循以上准则。 接下分别讨论一下这两种算法以及判定最小生成树是否唯一的方法。 克鲁斯卡尔算法 克鲁斯卡尔算法的基本思想是以边为主导地位，始终选择当前可用（所选的边不能构成回路）的最小权植边。所以Kruskal算法的第一步是给所有的边按照从小到大的顺序排序。这一步可以直接使用库函数qsort或者sort。接下来从小到大依次考察每一条边（u，v）。

最小生成树 在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。 例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。 克鲁斯卡尔算法介绍 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。 基本思想 ：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。 具体做法 ：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。 克鲁斯卡尔算法图解 以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。 第1步 ：将边<E,F>加入R中。 边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第2步 ：将边<C,D>加入R中。 上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第3步 ：将边<D,E>加入R中。 上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第4步 ：将边<B,F>加入R中。 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。 第5步 ：将边<E,G>加入R中。

E - Arctic Network 国防部（DND）希望通过无线网络连接几个北方前哨。在建立网络时，将使用两种不同的通信技术：每个前哨站将有一个无线电收发机，一些前哨站还将有一个卫星频道。 任何两个有卫星信道的前哨站都可以通过卫星进行通信，而不管它们的位置如何。否则，只有当两个前哨站之间的距离不超过D时，它们才能通过无线电进行通信，这取决于收发器的功率。更高的功率产生更高的D，但成本更高。出于购买和维护的考虑，前哨站的收发器必须是相同的；也就是说，每对前哨站的D值都是相同的。 您的工作是确定收发器所需的最小D。每对前哨站之间必须至少有一条通信路径（直接或间接）。 输入 输入的第一行包含N，测试用例的数量。每个测试用例的第一行包含1<=S<=100（卫星信道数）和S<P<=500（前哨站数）。随后是P线，给出每个前哨的（x，y）坐标（单位：km）（坐标是0到10000之间的整数）。 输出 对于每种情况，输出应包括给出连接网络所需的最小D。输出应指定为2个小数点 Sample Input 1 2 4 0 100 0 300 0 600 150 750 Sample Output 212.13 思路：首先题目要求每个点都能够联通，所以可以先建立一个最小生成树，然后根据题目里卫星信道的作用，两个信道之间可以形成一条道路，并且不受距离影响。 比如1.给出有两个卫星通道，即s=2

由于数据结构学过一段时间了，有些知识点有点遗忘，所以先来复习一下一些知识点： 什么是最小生成树? 最小生成树是在一个给定的 无向图 G中求一棵树T，使得这棵树拥有图G中的所有顶点，且所有边都是来自图G中的边，并且满足整棵树的边权之和最小。 最小生成树的三个性质： 1，最小生成树是树，因此其边数等于顶点数减1，且树内一定不会有环。 2，对于给定的图G，其最小生成树可以不唯一，但其边权之和一定是唯一的 3，由于最小生成树是在无向图上生成的，因此其根结点可以实这棵树上的任意一个结点。 求最小生成树一般有两种算法，即prim和kruskal。这两种算法都是采用了贪心的思想，只是贪心的策略不太一样。 Prim算法：(普里姆算法) 用来解决最小生成树问题，其基本思想是对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与集合S的最短距离最小的一个顶点（记为 u），访问并加入集合S。之后，令顶点u为中介点，优化所有从u能到达的顶点v 与集合S之间的最短距离。这样的操作执行n次(n为顶点个数)，直到集合S已包含所有的顶点。可以发现,prim算法的思想与最短路径中的Dijkstra算法的思想几乎完全相同，只是在涉及最短距离时使用了集合S代替Dijkstra算法中的起点s。 Kruskal算法：(克鲁斯卡尔算法) 同样是用来解决最小生成树问题的一个算法。和prim算法不同

题目链接 ： https://loj.ac/problem/10067 完全图 ： 若一个图的每一对不同顶点恰有一条边相连，则称为完全图。 完全图是每对顶点之间都恰连有一条边的简单图。n个端点的完全图有n个端点及n(n − 1) / 2条边。由 最小生成树复原最小完全图 ： 最小生成树T，T中的每一条边都是一条 割边 去掉任意一条树T中的边，这个树一定会变成 两个联通块 ，令其为A、B。 要将T扩展为完全图G，那么显然 A中的每个点都需要与B中的所有点相连 。 A中新发出的连边的权值一定是 大于 （若等于则存在多种最小生成树解，不合题意） 出发点在树上的相接边的权值 的。 再一看数据量，单独枚举肯定不行。由联通块可以联想到并查集，发现可行。 对于一条最小生成树上的边E<A,B>，可以看做E连接了A,B两个联通块。 那么要将A、B两块连接为一个完全图需要加的边数就是 cnt[A] * cnt[B]-1，其中 cnt表示联通块中的结点个数 。 边的权值一定是大于E的权值的，要使其最小，那么这些边的权值都是 E的权值+1 那么合并A、B两个联通块的花费就是 (边E.权+1)*(cnt[A]*cnt[B]-1)。ans在每次合并联通块时加上花费即可求解。 另外一点，因为要求的是最小的完全图，所以有一个贪心策略：先把树上的边按照 权值从小到大排序 ，然后枚举即可。 代码 ： #include

什么是最小生成树 ​ 一个有 n 个结点的 连通图 的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用 kruskal （克鲁斯卡尔）算法或 prim （普里姆）算法求出。 最小权重生成树又是什么 ​ 在一给定的 无向图 G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此 边 的权重，若存在 T 为 E 的 子集 （即）且为无循环图，使得 的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的 最小生成树 。 最小生成树其实是 最小权重生成树 的简称。 实际应用场景 例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。 算法实现 我们首先看我们的无向图 , 需要找到一个最小权重生成树 kruskal 算法 其基本思想就是把每条边都拿出来, 然后按照权重排序, 将这些边组合起来, 要求的是组合过程中不可以形成环, 形成环则放弃这条边 基本实现就是这个了, 打错的是不符合要求的. 到最后就会形成最小权重生成树 Prim 算法 其基本思想就比较麻烦, 我们先看一张图 这里有四行数据, 第一行各个节点. 第二行是节点是否被选中

Prim算法 给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。 求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。 给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。 由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。 输入格式 第一行包含两个整数n和m。 接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。 输出格式 共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。 数据范围 1≤n≤500, 1≤m≤105, 图中涉及边的边权的绝对值均不超过10000。 输入样例： 4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4 输出样例： 6 Prim 时间复杂度:O(nm) 空间复杂度:nm 用处:求最小生成树 Prim算法与 Dijkstra 非常相近，我推荐先读这篇文章: 【模板】Dijkstra 好了，既然十分相似，那我们就上代码: # include <bits/stdc++.h> using namespace std ; const int N = 510 , INF =

不贴题目了 这个题太有意思了！！！ 没想到最小生成树的题还能这么搞 竟然一个是托 最后又到最小生成树的经典做法上了 第一次没对 我又仔细看了看题 原来这个也是最小权重啊 我一开始根本没考虑最小的问题 只是把不在一块的岛 连了起来 后来又改了几次 样例都对 我觉得也没啥毛病 但 啊 就是不对 后来我又从CSDN上搜了 那个作者说的让我突然又思路了： 需要往模板方向靠拢，在要求的条件之下，化为： 村1 村2 距离/价钱 不就是把他们两个两个的遍历一遍吗 然后记下他们的编号 和他们之间的距离 就成了经典的最小生成树的问题了 // 这个题太有意思了！！！ // 没想到最小生成树的题还能这么搞 // 竟然一个是托 最后又到最小生成树的经典做法上了 // 第一次没对 我又仔细看了看题 原来这个也是最小权重啊 我一开始根本没考虑最小的问题 // 只是把不在一块的岛 连了起来 // 后来又改了几次 样例都对 我觉得也没啥毛病 但 啊 就是不对 // 后来我又从CSDN上搜了 // 那个作者说的让我突然又思路了： // 需要往模板方向靠拢，在要求的条件之下，化为： 村1 村2 距离/价钱 // 不就是把他们两个两个的遍历一遍吗 然后记下他们的编号 和他们之间的距离 // 就成了经典的最小生成树的问题了 # include <iostream> # include <vector> # include

给定边权为正的连通图G，找出连接所有顶点的边的最小权值（集）。 Kruskal ： 步骤： 1. 按边权从小到大的顺序遍历边。 2. 如果边对应的两个点不在同一连通分量中，则将其相连。否则忽略。 贪心 + 并查集，时间复杂度$O(ElogE+E*A(V)+V)(A\ is\ Ackermann)$。 Prim ： 步骤： 1. S = {x}（x为任意点）。 2. 重复以下操作直到S中有V个点。 设E是只有一个端点在S的边中的最小边。 将另一个端点加入S。 贪心 + 优先级队列，时间复杂度$O((E+V)log(V))$。 例题：洛谷P3366 https://www.luogu.com.cn/problem/P3366 1. Kruskal #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 200010; int n, m, w[N], u[N], v[N], f[5010], o[N]; int cmp(int a, int b) {return w[a] < w[b];} int find(int k) {return f[k] == k ? k : f[k] = find(f[k]);} int Kruskal() { int ans = 0; for(int i = 0; i < n; i++) f[i]

题意：给定一张完全图，即每个点都跟另一个点相连，然后有n个点，编号为1到n，然后有m条边的权值为1，其它边全为0，求最小生成树。 分析：使用最小生成树算法不行，因为时间复杂度太高了，每个点都和另一个点相连，大概有n * (n - 1) / 2条边，超时。我们可以采样另一种做法，我们将所有边权为0且相连的点看成一个联通块，每个联通块和其它联通块通过一条或多条边权为1的边相连，那么我们把这些联通块看成一个点，即 缩点 ，那么我们就在新图上求最小生成树，那么这个最小生成树的答案就是联通块的个数-1，(树的性质：边数等于顶点数减一)，可以画个图，因为每个点和其它所有点相连，有0和1的边，那么我们把所有边权为0且相连的点看成一个联通块，这个联通块通过很多1的边和其它连通块相连，我们只需要选择一条，就可以和其它连通块相连，其它权值为1的点都可以省去，那么就可以得到一个最小生成树。 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <set> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 100005; set<int> k; set<int> g[N]; bool st[N]; int n, m; void