线段树

参考题目：A Simple Problem with Integers POJ-3468 距离上一次写这道题已经过去两个月了，前天打模拟赛时连线段树都手敲不出来了。所以这次重新来复习一下线段树。 这次主要是记录一下对线段树区间修改的理解： 一开始我们先是理解线段树的建树原理以及查询原理。利用一个二叉树建立，每个父节点可以记录左右子结点的和或者最大值，以此来维护区间内容。 查询也类似，通过递归寻找，找到所有符合条件(区间内深度最浅)结点，然后将其求和返回或者求最大值返回。 而在之后有单点修改。单点修改重建树来理解，就是递归，找到范围(l,r) ,l=r 时的结点位置更新并 push_up() 向上建树。 但是对于大量数据查询，以及面对区间修改问题时，要一个一个找到位置再更新push_up()就会非常费时间。 所以我们试想能否使用一个标记 tag 传递，在更新范围内的结点就把 tag 传递下去，然后对所有含有tag 的叶子结点更新，再push_up(); 但是对于上面实际上还有更加优化的方案：即 lazy[] 标记。我们用 lazy[]标记记录每个结点修改信息，就像上面一样。但是当递归到某个完全被包含于查询区间的 部分时，我们直接对这个区间更新 即 (r-l+1) * lazy[p] . （完全被包含，所以直接乘以长度即可），单接下来我就直接返回了，不往下递归了

感性的理解，主席树就是多个阶段下（即可保存多个版本）的多棵线段树（可以是普通线段树也可以是权值线段树）。 一、权值线段树 普通线段树相信大家都会，这里先简述一下权值线段树。 顾名思义，权值线段树的每个节点带的[l,r]表示的是权值区间l~r，而不是像普通平衡树上那样表示在序列上的第l个位置~第r个位置。而每个节点的val值表示该权值区间内有多少个数。比如对于1,4,1,6,4,4,2这样一个序列，可以表示为下图： 对于插入操作，直接从根节点往下找到所有权值范围包括k的节点，将其val++，一直到叶子节点。 对于查询操作，如查询第k小的数，即从根节点开始，若 左子树的val<=k ，就往左子树继续查找，否则将 k-=左子树的val 并往右子树查找（显然该范围的第k小就是其右子范围的第 k-tre[tre[x].ls].val 小）。 应该是比较好理解的。 但是，有一个很严重的问题，比如说1,10^6,10^7这样一个序列，明明只有三个元素，但是对于权值线段树，我们是要开 2*(10^7) 的节点的，显然空间上是无法接受的。怎么办呢？ 这里讲的是 离散化+动态开点。 首先离散化，就是用每个权值在序列中的排名来代替该权值在序列中的位置。 其次是动态开点。在普通线段树中，我们建树、插入、查询的时候都是直接走的 rt<<1 或者 rt<<1|1 ，但是我们发现，有些节点是不需要的

线段树维护dp 题目大意 给定初始大小为 $N$ 的正整数集合。定义两个数$x$和$y$建立联系的的代价为 $|x-y|$。我们定义整数集合的代价为：将每个整数都与至少一个另外的整数建立联系之后，所有联系的最小代价之和。如果集合大小小于等于1，则代价为 0。 要求动态维护这个正整数集合的代价。 $n \le 200000$ 题目分析 常规的线段树维护dp 考虑在权值上处理这个问题：对于一个区间$[l,r]$，在$(l,r)$中的数肯定是自身配对了才优。也就是说一个区间可以被概括成四个状态：$00,01,10,11$其中$0$表示这一个端点暂时没有配对，$1$表示这个端点已经内部配对了。 接下去就是常规的权值线段树处理dp 1 #include<bits/stdc++.h> 2 typedef long long ll; 3 const ll INF = 1ll<<50; 4 const int maxn = 200035; 5 const int LIM = 1000000000; 6 const int maxNode = 8000035; 7 8 struct node 9 { 10 int mn,mx,ls,rs,val; 11 ll f00,f01,f10,f11; 12 }f[maxNode]; 13 int n,m,rt,tot,a[maxn]; 14 int stk

XKC , the captain of the basketball team , is directing a train of n n team members. He makes all members stand in a row , and numbers them 1 \cdots n 1 ⋯ n from left to right. The ability of the i i-th person is w_i w i ​ , and if there is a guy whose ability is not less than w_i+m w i ​ + m stands on his right , he will become angry. It means that the j j-th person will make the i i-th person angry if j>i j > i and w_j \ge w_i+m w j ​ ≥ w i ​ + m. We define the anger of the i i-th person as the number of people between him and the person , who makes him angry and the distance from him is the

I Hate It HDU - 1754 题目链接： https://vjudge.net/problem/HDU-1754 题目： 很多学校流行一种比较的习惯。老师们很喜欢询问，从某某到某某当中，分数最高的是多少。 这让很多学生很反感。 不管你喜不喜欢，现在需要你做的是，就是按照老师的要求，写一个程序，模拟老师的询问。当然，老师有时候需要更新某位同学的成绩。 Input本题目包含多组测试，请处理到文件结束。 在每个测试的第一行，有两个正整数 N 和 M ( 0<N<=200000,0<M<5000 )，分别代表学生的数目和操作的数目。 学生ID编号分别从1编到N。 第二行包含N个整数，代表这N个学生的初始成绩，其中第i个数代表ID为i的学生的成绩。 接下来有M行。每一行有一个字符 C (只取'Q'或'U') ，和两个正整数A，B。 当C为'Q'的时候，表示这是一条询问操作，它询问ID从A到B(包括A,B)的学生当中，成绩最高的是多少。 当C为'U'的时候，表示这是一条更新操作，要求把ID为A的学生的成绩更改为B。 Output对于每一次询问操作，在一行里面输出最高成绩。Sample Input 5 6 1 2 3 4 5 Q 1 5 U 3 6 Q 3 4 Q 4 5 U 2 9 Q 1 5 Sample Output 5 6 5 9 思路：简单修改一下线段树单点修改即可

不要当线段树都不会敲的菜鸡了。 线段树所要提供的是查询一个区间 内的信息 ，并允许修改操作。 节点数据向上更新 对于区间求和： void push_up(int rt){ tree[rt] = tree[rt<<1] + tree[rt<<1|1]; } 对于区间求最值： void push_up(int rt){ tree[rt] = max(tree[rt<<1],tree[rt<<1|1]); } 节点懒惰标记向下传递 对于区间求和： void push_down(int rt,int len){ tree[rt<<1] += lazy[rt]*( len-(len>>1) ); lazy[rt<<1] += lazy[rt]; tree[rt<<1|1] += lazy[rt]*(len>>1); lazy[rt<<1|1] += lazy[rt]; lazy[rt]=0; } 对于区间求最值： void push_down(int rt){ tree[rt<<1] += lazy[rt]; lazy[rt<<1] += lazy[rt]; tree[rt<<1|1] += lazy[rt]; lazy[rt<<1|1] += lazy[rt]; lazy[rt] = 0; } 建树 void build(int l,int r,int rt){ lazy[rt] = 0;

Buses and People 三维处理 题目大意：有n辆公交车,每辆公交车有s(起始点),f(终点),t(发车时间) ，有m个人,每个人有l(起点),r(终点),t(出现时间) 对于一个人，当t(人)<=t(车)， s<=l，r <=f 时就能上这辆车，问能上的发车时间最早的是那一辆 类似三维偏序问题，有三个维度需要我们解决。首先，车和人都有l,r,t，三个属性，先按照l排序，解决第一维，这样，对于一个人，前面的所有的车都是可能上去的。剩下的两个维度用线段树来解决，线段树维护区间最大值。线段树下标对应的是t，维护的最大值是r。把车和人在一起排序，从头遍历，是车，就在t位置插入r，是人，就在线段树t位置到末端查询满足小于r的最小的下标对应的id(也就是车的id)。 怎么也没想到可以用一个线段树直接解决两维。 查询到一个人，前面已经插入的车的l一定都比它小了；线段树查询的是t到末端，t大于人的车一定在其中；线段树维护的是r最大值，只要查询的区间内的r有大于等于此人的r，那么这个人就一定能上车。 排序解决一维，线段树解决一维，维护的最大值解决一维。 # include <cstdio> # include <algorithm> # include <cmath> # define Mid ((a[k].l+a[k].r)>>1) # define cl (k<<1) #

基础知识： 线段树是一颗 二叉树搜索树 ，也是 二叉平衡树 。 根区间：[L,R] 左孩子区间：[L, (L+R)/2] 右孩子区间：[(L+R)/2+1, R] 叶子节点：L=R 树高logN 树上的操作都和树高有关系，例如：优先队列，堆等 时间复杂度O(longn) 用法 ： 区间更新 区间查询 例如区间最值查询（Rang Minimum/Maximum Query， RMQ ） 树状数组 擅长 点更新 和 区间和查询、 区间更新不擅长，没有加法关系树状数组就不适合。 线段树操作一. RMQ ： 点更新：修改一个元素的值 区间查询：查询一个区间的最值（最大或者最小） 除了最后一层中间都是满二叉树，满二叉树可顺序存储，顺序存储可以直接定位。 tree[] k / \ 2k 2k+1 n 个节点需要空间是 4*n 区间跟新打标记 点更新，区间查询，没有区间更新。 1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 5 using namespace std; 6 7 const int maxn = 1000005; 8 const int inf = 0x3f3f3f3f; 9 int n, a[maxn]; 10 11 struct node // 结点 12 { 13 int l, r, mx

思路：线段树，区间更新 1 #include<iostream> 2 #include<vector> 3 #include<string> 4 #include<cmath> 5 #include<set> 6 #include<algorithm> 7 #include<cstdio> 8 #include<map> 9 #include<cstring> 10 #include<list> 11 12 #define MAXSIZE 100010 13 14 using namespace std; 15 16 int tree[MAXSIZE*4]; 17 int lz[MAXSIZE*4]; 18 int N; 19 int cnt = 0; // 控制输出的打印格式 20 21 22 void init() 23 { 24 memset(tree, 0, sizeof(tree)); 25 memset(lz, 0, sizeof(lz)); 26 } 27 28 29 void build(int node, int l, int r) 30 { 31 if(l == r) 32 { 33 tree[node] = 0; 34 return; 35 } 36 int mid = (l+r)/2; 37 build(node*2, l, mid); 38 build

CF377D 把 l , r l,r l , r 看成两维坐标，假设最后有解，那一定存在一个 ( L , R ) (L,R) ( L , R ) 使得 L ≥ m a x { l [ i ] } ， L ≤ m i n { v [ i ] } L\ge max\{l[i]\}，L\le min\{v[i]\} L ≥ m a x { l [ i ] } ， L ≤ m i n { v [ i ] } 且 R ≥ m a x { v [ i ] } ， R ≤ m i n { r [ i ] } R\ge max\{v[i]\}，R\le min\{r[i]\} R ≥ m a x { v [ i ] } ， R ≤ m i n { r [ i ] } ，否则显然不满足条件 即是把 l , v , r l,v,r l , v , r 看作一个横坐标 ( l , v ) (l,v) ( l , v ) 纵坐标 ( v , r ) (v,r) ( v , r ) 的矩形，要求尽量多的矩形使得它们的面积并不为空（可以为0，就是矩形并为一个点的情况） 那就可以线段树+扫描线了 Code： # include <bits/stdc++.h> # define pb push_back using namespace std ; inline int read ( ) { int res = 0