svd

奇异值分解(SVD)与主成分分析(PCA) 1 算法简介 奇异值分解（Singular Value Decomposition），简称SVD，是线性代数中矩阵分解的方法。假如有一个矩阵A，对它进行奇异值分解，可以得到三个矩阵相乘的形式，最左边为m维的正交矩阵，中间为m*n 的对角阵，右边为n维的正交矩阵： A = U Σ V T A=U\Sigma V^{T} A = U Σ V T 这三个矩阵的大小如下图所示： 矩阵 Σ \Sigma Σ 除了对角元素其他元素都为0，并且对角元素是从大到小排列的，前面的元素比较大，后面的很多元素接近0。这些对角元素就是奇异值。( u i u_i u i ​ 为m维行向量， v i v_i v i ​ 为n维行向量) Σ \Sigma Σ 中有n个奇异值，但是由于排在后面的很多接近0，所以我们可以仅保留比较大的前r个奇异值，同时对三个矩阵过滤后面的n-r个奇异值， 奇异值过滤之后，得到新的矩阵： [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-7Y9zuN9s-1576054984887)(./Img/fig2.png)] 在新的矩阵中， Σ \Sigma Σ 只保留了前r个较大的特征值: 实际应用中，我们仅需保留三个比较小的矩阵，就能表示A，不仅节省存储量，在计算的时候更是减少了计算量。SVD在信息检索（隐性语义索引

SVD法是将在两个不同坐标系下的测量的多个点的坐标值对构造成一个矩阵，对该矩阵进行奇异值分解得到姿态矩阵。 1 P = 1 2 R 2 P + 1 2 T {}^1P = {}_1^2R{}^2P + {}_1^2T 1 P = 1 2 ​ R 2 P + 1 2 ​ T 首先，使用两组点构造出一个矩阵 H H H H = ∑ i = 1 m ( ( 2 P i − 2 P ˉ ) ⋅ ( 1 P i − 1 P ˉ ) T ) H = \sum\limits_{i = 1}^m {\left( {\left( {{}^2{P_i} - {}^2\bar P} \right) \cdot {{\left( {{}^1{P_i} - {}^1\bar P} \right)}^T}} \right)} H = i = 1 ∑ m ​ ( ( 2 P i ​ − 2 P ˉ ) ⋅ ( 1 P i ​ − 1 P ˉ ) T ) 然后对 H H H 进行奇异值分解 U ⋅ Δ ⋅ V T = S V D ( H ) U \cdot \Delta \cdot {V^T} = SVD\left( H \right) U ⋅ Δ ⋅ V T = S V D ( H ) 然后计算 ∣ V ⋅ U T ∣ |V \cdot {U^T}| ∣ V ⋅ U T ∣ 的符号，如果大于0，则 1 2 R