拉普拉斯变换

Taylor展开 在数学中泰勒展开可以把一个函数f(x)展开成关于某一点的导数(0次到N次)的函数,这样就可以近似计算一个函数,得到在某点及其附近信息的近似描述。 傅里叶变换 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、 光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用，例如在信号处理中，傅里叶变换的典 型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量，。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数，正弦和/或余弦函数，或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是， 一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加或从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但它确有固定的周期，或者说，给定一个周期我们就能画出整个区间上的分信号，那么给定一组周期值，或频率值，，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样

What is 拉普拉斯变换？ 先放一张Matlab绘制的很有立体感的图，我们后面会了解。 初学时我可看不大明白，因为得先明白什么是傅里叶变换，再放图 傅里叶变换的真理就是任何一个原始的周期性（非周期性可以在T趋于 ∞ \infty ∞ 时变成周期性）函数，可以由多个正余弦波叠加来近似。它实质是是频域函数和时域函数的转换 一. 引入拉氏变换的实际背景： 傅氏变换必须在整个实轴上有定义，但在工程实际问题中，许多以时间t为自变量的函数在时间t<0时是无意义的。通常在信号与系统中用到的就是这种单边拉普拉斯变换（有时也将t=0_考虑进去），也就是因果信号（含有输入信号和输出信号的信号系统）的拉氏变换。 1.1定义 傅里叶正变换： F ( ω ) F(ω) F ( ω ) = F [ f ( t ) ] \mathscr{F}[f(t)] F [ f ( t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jωt}dt ∫ − ∞ + ∞ ​ f ( t ) e − j ω t d t 在傅氏变换的基础上，去掉t<0时的实轴范围，并对于复参数s=β+jω, 则有积分： F ( S ) F(S) F ( S ) = L [ f ( t ) ] \mathscr{L}[f(t)] L [ f ( t )

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式

仔细研读过郑君里的《信号与系统》，曾经一度达到可以背诵上下两本书的程度。 后又熟读程佩青的《数字信号处理教程》，对其中的前八章达到背诵的程度。 最后有熟读奥本海默的信号与系统与离散信号处理两本书，这两本书实在是厚啊，总共1000+页！ 楼上很多人都说：“拉普拉斯变换没有实际的物理意义，相对于傅里叶变换明确的物理意义来说，拉普拉斯变换只是一个算子。” 这种说法未免有失偏颇。 首先承认拉普拉斯变换确实起到算子的运用，然而其物理意义长期没有被人发现。 简单地说，大家都认可傅里叶变换的本质是一个信号可以表示成正弦信号的叠加，即无法进行傅里叶变换。 大家如果注意到傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系可以发现，当s=jw时，拉普拉斯变换便等于傅里叶变换。可见傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。 那么重点来了，如果一个是增长型的，比如e^2t，这个信号指数增长，那么这个信号是无法表示成等幅的正弦信号的叠加的。注意，傅里叶变换的物理意义是一个信号可以表示成等幅的正弦信号的叠加！ 这个等幅的概念有多少人忽略了！ 那么，推广一下，不等幅的正弦信号((e^2t)*sint)便出现了！ 数学波形是很容易想象的。 回到e^2t的问题，这个信号无法表示成等幅的正弦信号的叠加（傅里叶变换），那么它为何不能表示成增幅的正弦信号的叠加呢？ 能！这就是拉普拉斯变换的物理意义！ 上面这个信号在拉普拉斯变换中有一个收敛域，s>2

“ 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 ” 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。 理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。