卡特兰数

这一块一直学的不太好，基本停留在看到题可以看出来是个卡特兰数，但进一步的思考和推导，对我来说就变得困难起来，所以今天趁有时间，复习一下 前言 卡特兰数多用在组合数学的计数问题中，多是那种有两种选择，也就是求有限制的方案数 公式 $h(n)=h(0){\times}h(n-1)+h(1){\times}h(n-2)+{\cdots}+h(n-1){\times}h(0)$ $h(n)=\frac{h(n-1){\times}(4{\times}n-2)}{n+1}$ $h(n)=C_{2{\times}n}^{n}-C_{2{\times}n}^{n-1}$ $h(n)=\frac{C_{2{\times}n}^{n}}{n+1}$ 最后两个通项公式在组合数学中较为常用，关于最后两个通项公式的推倒，我简单推一下，其实就是对组合数公式的应用 $h(n)=C_{2{\times}n}^{n}-C_{2{\times}n}^{n-1}$ 　　　$=C_{2{\times}n}^{n}-\frac{(2{\times}n)!{\times}n}{n!{\times}n!{\times}(n+1)}$ 　　　$=C_{2{\times}n}^{n}-C_{2{\times}n}^{n}{\times}\frac{n}{n+1}$ 　　　$=\frac{1}{n+1}{\times}C_{2{

参考： 卡特兰数 很经典的问题有：合法括号匹配、矩阵从左下角到右上角不走对角线、二叉树构成问题、凸多边形的三角形划分等等 一般会用到的公式有 \[ f(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f(i)*f(n-i-1) \] 注： f(0)=1,f(1)=1 通项公式： \[ f(n)=\binom {2n} n-\binom {2n} {n-1} \] 或者是： \[ f(n)=\frac{\binom {2n} n}{n+1} \] 递推式： \[ f(n)=\frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1} \] 一般来说第一个公式可承受的数据范围更加大，所以当数据较大或者用其他公式爆 long long 了，考虑试一下第一公式，或者利用 __int128 写一个快速乘 来源： https://www.cnblogs.com/CADCADCAD/p/11358668.html