矩阵乘法

[作者：byeyear，首发于cnblogs.com，转载请注明。联系：east3@163.com] 回忆学校的美好时光，顺便复习一下学校学过的知识吧。 1. 三种行初等变换 倍加变换 （某一行的倍数加到另一行） 对换变换 （两行交换） 倍乘变换 （某一行所有元素乘以同一个非零数） 2. 行等价 一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。 行变换可逆。 3. 若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则它们有相同的解集。 4. 简化行阶梯矩阵 a) 非零行的先导元素为0 b) 先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素 一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。 5. 对应于主元列的变量称基本变量，其他变量称自由变量。 6. 向量的平行四边形法则 若R 2 中的向量u，v用平面上的点表示，则u+v对应于u，v，0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。 [思考：即使u，v不是R 2 而是R 3 甚至R n 中的向量，上述结论是否仍然成立？] 7. 向量方程 x 1 a 1 +x 2 a 2 +...+x n a n=b 和增广矩阵如下的线性方程组 [a 1 a 2 ... a n b] 和矩阵方程 Ax=b 有相同的解集。 8. 方程Ax=b有解的条件：b是A的各列的线性组合。 9. 设A为mxn矩阵，以下命题等价： a) 对R m 中每个b，Ax=b有解 b) R m 中的每个b都是A的列的一个线性组合

1、概念 线性(linear)指量(变量)与量(变量)之间按比例、成直线关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；而非线性(non-linear)是指不成比例、没有直线关系，一阶导数不是常数的函数。 线性代数中的基本量指的是向量，基本关系是严格的线性关系；也就是可以简单的将线性代数理解为向量与向量之间的线性关系的映射。 2、向量(有大小和方向) 向量的运算： 正交向量 3、矩阵的各种类型 左行右列，行*列的意思 矩阵相等： 方阵： 负矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵 对角矩阵： 单位矩阵： 对称矩阵： 4、矩阵的各种运算 矩阵的加减： 矩阵的乘法： 数乘：将数λ与矩阵A相乘，就是将数λ与矩阵A中的每一个元素相乘，记作λA；结果C=λA 矩阵与向量的乘法 另一种是分别相乘再相加 矩阵的转置--行和列互换 方阵的行列式 5、行列式计算方法 去掉第一行第一列剩余的称为余子式 行列式计算降维计算更方便 a(i,1)的乘以余子式A(j,1)，若i！=j代表乘以其他行列的余子式，该乘积为零 行列式的性质： 6、伴随矩阵和可逆矩阵 伴随矩阵 7、矩阵的运算规律 8、矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 9、矩阵的秩 10、向量组 11、线性方程组的求解(齐次方程&非齐次方程) 特殊解+通解 非齐次方程的解 特解 和 通解 令b=0求基础解决 非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解 12

R语言与 数据挖掘：公式；数据；方法 R语言特征 对大小写敏感 通常，数字，字母，. 和 _都是允许的(在一些国家还包括重音字母)。不过，一个命名必须以 . 或者字母开头，并且如果以 . 开头，第二个字符不允许是数字。 基本命令要么是表达式（expressions）要么就是 赋值（assignments）。 命令可以被 (;)隔开，或者另起一行。 基本命令可以通过大括弧({和}) 放在一起构成一个复合表达式（compound expression）。 一行中，从井号(#)开始到句子收尾之间的语句就是是注释。 R是动态类型、强类型的语言。 R的基本数据类型有数值型（numeric）、字符型（character）、复数型（complex）和逻辑型（logical），对象类型有向量、因子、数组、矩阵、数据框、列表、时间序列。 基础指令 程序辅助性操作： 运行 q()——退出R程序 tab——自动补全 ctrl+L——清空console ESC——中断当前计算 调试查错 browser() 和 debug()—— 设置断点进行，运行到此可以进行浏览查看（具体调试看browser（）帮助文档（c,n,Q）） stop('your message here.')——输入参数不正确时，停止程序执行 cat（）——查看变量？ 帮助 help(solve) 和 ?solve 等同 ??solve—

大多数人在高中，或者大学低年级，都上过一门课《线性代数》。这门课其实是教矩阵。 刚学的时候，还蛮简单的，矩阵加法就是相同位置的数字加一下。 矩阵减法也类似。 矩阵乘以一个常数，就是所有位置都乘以这个数。 但是，等到矩阵乘以矩阵的时候，一切就不一样了。 这个结果是怎么算出来的？ 教科书告诉你，计算规则是，第一个矩阵第一行的每个数字（2和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1和1），然后将乘积相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。 也就是说，结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。 怎么会有这么奇怪的规则？ 我一直没理解这个规则的含义，导致《线性代数》这门课就没学懂。研究生时发现，线性代数是向量计算的基础，很多重要的数学模型都要用到向量计算，所以我做不了复杂模型。这一直让我有点伤心。 前些日子，受到 一篇文章 的启发，我终于想通了，矩阵乘法到底是什么东西。关键就是一句话， 矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。 如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。 下面是一组线性方程式。 矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。 老实说，从上面这种写法，已经能看出矩阵乘法的规则了：系数矩阵第一行的2和1，各自与 x 和 y 的乘积之和，等于3。不过，这不算严格的证明

在看到麻省理工学院的线性代数公开课的视频时，了解到有几种矩阵相乘的方法： #include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define M 2#define N 3#define P 4/* * A*B=C * (M,N) * (N,P) =(M,P) */float a[M][N] = {{5, 2, 4}, {6, 3, 9}};float b[N][P] = {{7, 8, 9, 10}, {1, 4, 22, 171}, {13,14, 2, 21}};float c[M][P];void clear_c(){//用于清空c数组，//多种乘法同时使用的时候，某些方法需要清空c数组，否则会重复计算。 int i,j; for(i=0;i<M;i++) for(j=0;j<P;j++) c[i][j]=0;}void print_matrix(){//本函数只打印c 矩阵 int i,j; for(i=0;i<M;i++) { for(j=0;j<P;j++) { printf("%.3g\t",c[i][j]); } printf("\n"); }}void mul_1(){//一般矩阵乘积 printf("\n1.矩阵乘法的一般方法：\n"); int i,j,k; float c_key,c_sumkey; /

转载自 https://blog.csdn.net/u012609509/article/details/70230204 Python中的几种矩阵乘法 1. 同线性代数中矩阵乘法的定义： np.dot() np.dot(A, B)：对于二维矩阵，计算真正意义上的矩阵乘积，同线性代数中矩阵乘法的定义。对于一维矩阵，计算两者的内积。见如下Python代码： import numpy as np # 2-D array: 2 x 3 two_dim_matrix_one = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) # 2-D array: 3 x 2 two_dim_matrix_two = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) two_multi_res = np.dot(two_dim_matrix_one, two_dim_matrix_two) print('two_multi_res: %s' %(two_multi_res)) # 1-D array one_dim_vec_one = np.array([1, 2, 3]) one_dim_vec_two = np.array([4, 5, 6]) one_result_res = np.dot(one_dim_vec_one, one_dim_vec_two)

作者：童哲 链接：https://www.zhihu.com/question/36966326/answer/70687817 来源：知乎 著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。 行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的， 理解只需要三步 。这酸爽~ 1，行列式 是针对一个 的矩阵 而言的。 表示一个 维空间到 维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个 维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成 维空间中的一个新立方体。 2，原来立方体有一个体积 ，新的立方体也有一个体积 。 3，行列式 是一个数对不对？这个数其实就是 ，结束了。 就这么简单？没错，就这么简单。 所以说：行列式的本质就是一句话： 行列式就是线性变换的放大率！ 理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质： 道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！ 你先进行一个 变换，再进行一个 变换，放大两次的放大率，就是式子左边。 你把“先进行 变换，再进行 变换”定义作一个新的变换，叫做“ ”，新变换的放大律就是式子右边。 然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了

来源：https://blog.csdn.net/u013066730/article/details/57462299/ 下面为matlab中的点乘和叉乘 矩阵叉乘 矩阵的乘法就是矩阵a的第一行乘以矩阵b的第一列，各个元素对应相乘然后求和作为第一元素的值。矩阵只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时,它们才可以相乘,乘积矩阵的行数等于左边矩阵的行数,乘积矩阵的列数等于右边矩阵的列数。 MATLAB仿真 MATLAB代码： a=[ 1 0 2;- 1 3 1]; b=[ 3 1; 2 1; 1 0]; c=a*b; fprintf( '\na = \n'); disp(a); fprintf( '\nb = \n'); disp(b); fprintf( '\nc = \n'); disp(c); a = 1 0 2 -1 3 1 b = 3 1 2 1 1 0 c = 5 1 4 2 矩阵的点乘 就是矩阵各个对应元素相乘, 这个时候要求两个矩阵必须同样大小 %matlab代码为 c=a.*b; a = 1 0 -1 3 b = 3 1 2 1 c = 3 0 -2 3 来源： https://www.cnblogs.com/MCSFX/p/12053441.html

《大学离散数学》图的矩阵表示，无向图关联矩阵，有向图关联矩阵 无向图关联矩阵相关计算 mport numpy as np ramdom_matrix = np . array ( [ [ 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ] , [ 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 ] , [ 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 ] , [ 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 2 ] ] ) #输入你想算的矩阵 print ( "每条边关联顶点个数" ) print ( sum ( ramdom_matrix ) ) a = 0 for i in range ( 0 , 4 ) : print ( "第" , i , "行元素的度数为" ) print ( sum ( ramdom_matrix [ i ] ) ) a = a + sum ( ramdom_matrix [ i ] ) print ( "根据握手定律，可知顶点度数总和为：" ) print ( a ) 有向图邻接矩阵 import numpy as np ramdom_matrix = np . array ( [ [ 1 , 2 , 1 , 0 ] , [ 0 , 0 , 1 , 0 ] , [ 0 , 0 , 0 , 1 ] , [ 0 , 0 , 1 , 0 ] ] ) #输入需要算的矩阵

从 Matlab 到 Numpy ##Numpy 和 Matlab 比较 Numpy 和 Matlab 有很多相似的地方，但 Numpy 并非 Matlab 的克隆，它们之间存在很多差异，例如： MATLAB® Numpy 基本类型为双精度浮点数组，以二维矩阵为主 基本类型为 ndarray ，有特殊的 matrix 类 1-based 索引 0-based 索引 脚本主要用于线性代数计算 可以使用其他的 Python 特性 采用值传递的方式进行计算 切片返回复制 采用引用传递的方式进行计算 切片返回引用 文件名必须和函数名相同 函数可以在任何地方任何文件中定义 收费 免费 2D，3D图像支持 依赖第三方库如 matplotlib 等 完全的编译环境 依赖于 Python 提供的编译环境 array 还是 matrix？ Numpy 中不仅提供了 array 这个基本类型，还提供了支持矩阵操作的类 matrix ，但是一般推荐使用 array ： 很多 numpy 函数返回的是 array ，不是 matrix 在 array 中，逐元素操作和矩阵操作有着明显的不同 向量可以不被视为矩阵 具体说来： *， dot(), multiply() array ： * -逐元素乘法， dot() -矩阵乘法 matrix ： * -矩阵乘法， multiply() -逐元素乘法 处理向量