傅里叶变换

文章目录 傅里叶变换表示形式 如何计算参数 a 0 ， a n ， b n a_0，a_n，b_n a 0 ​ ， a n ​ ， b n ​ ？ 什么条件下函数可以展开成傅里叶级数? 对于周期不是 2 π 2\pi 2 π 的函数呢？ 傅里叶变换 能量谱密度 功率谱密度 参考文献 傅里叶变换表示形式 假设任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函数的和： f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n s i n ( n ω 0 t + φ n ) 其 中 ： A n s i n ( n ω 0 t + φ n ) = A n s i n φ n c o s n ω 0 t + A n c o s φ n s i n n ω 0 t \begin{aligned} &f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n sin(n\omega_0 t+\varphi_n)\\ 其中：&A_n sin(n\omega_0 t+\varphi_n)=A_nsin\varphi_ncosn\omega_0 t+A_ncos\varphi_nsinn\omega_0 t \\ \end{aligned} 其 中 ： ​ f ( t ) = A 0 ​ + n = 1 ∑ ∞ ​ A n ​ s i n ( n ω 0 ​ t + φ n ​ ) A n ​ s i

1.坐标的空间变换 几何变换改变了图像中像素间的空间关系。由两个基本操作组成：坐标的空间变换和变换后灰度插值。 图像处理中常用的坐标变换就是仿射变换，下面截图常见的仿射变换 这些变换通常称为橡皮膜变换。坐标变换可由下式表示： (x,y)=T{(v,w)}。其中(v,w)是原图像中像素的坐标，(x,y)是变换后图像中像素的坐标。常用的仿射变换一般形式如下： ** 这个变换可以把一幅图像上的像素重新定位到一个新位置，为了完成该处理，还必须对这些新位置赋灰度值。 实际上，有两种基本方法来使用（**）式。第一种方法称为前向映射，它由扫描输入图像的像素，并在每个位置（v,w）用（**）式直接计算输出图像中相应像素的空间坐标位置(x,y)组成。前向映射算法的一个问题是输入图像中的两个或更多个像素可被变换到输出图像的同一位置。第二种方法称为反向映射，扫描输出像素的位置，并在每一个位置(x,y)使用 计算输入图像中的相应位置。然后，内插灰度值。 2.灰度插值 2.1 最近邻插值 2.2 双线性插值 2.3 双三次插值 3.傅里叶变换 傅里叶级数 傅里叶积分 傅里叶变换 未完待续... 4.傅里叶变换的基本性质 未完待续... 来源： CSDN 作者： 考研命题组长 链接： https://blog.csdn.net/FeNGQiHuALOVE/article/details/104711199

对于信号的处理，经常可以用到如下几种方法，比如傅里叶变换、小波变换、经验模式分解（Empirical Mode Decomposition）、变分模式分解（Variational Mode Decomposition）和Hilbert-Huang变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）。 对于傅里叶变换而言，是目前所接触到应用最多的信号处理法。通过傅里叶变换可以获取信号的频率信息。但是，傅里叶变换对于非平稳信号（频率随时间变化的信号）的处理能力不足，且只能获取一段信号总体上包含哪些频率成分，对各成分出现的时刻并无所知。 小波变换的数学基础是傅里叶变换，其被称为数学显微镜。小波变换是时间和频率的局部变换。小波变换换掉傅里叶变换的基，将无限长的三角函数基变换成了有限长的会衰减的小波基，不仅能够获取频率，还可以定位时间。通过小波变换，不仅可以知道信号的频率部分，还知道其在时间上的具体位置。对于突变信号，小波变换的效果要好于傅里叶变换。小波变换的一个要点是寻找一个小波函数。但是小波变换也有缺点和不足，就是小波基需要人为选择，同时和HHT相比，小波变换因为受到Heisenberg测不准原理（一个信号不能同时在时域和频域上过于集中）的制约，在提高时间精度的时候就要牺牲掉频率精度。同时，在处理含有突变信号的时候，HHT要比小波变换效果更好。 Hilbert

Taylor展开 在数学中泰勒展开可以把一个函数f(x)展开成关于某一点的导数(0次到N次)的函数,这样就可以近似计算一个函数,得到在某点及其附近信息的近似描述。 傅里叶变换 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、 光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用，例如在信号处理中，傅里叶变换的典 型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量，。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数，正弦和/或余弦函数，或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是， 一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加或从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但它确有固定的周期，或者说，给定一个周期我们就能画出整个区间上的分信号，那么给定一组周期值，或频率值，，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样

图像处理一般分为空间域处理和频率域处理 空间域处理是直接对图像内的像素进行处理。主要划分为灰度变换核空间滤波两种形式， 灰度变换对图像内的单个像素进行处理，滤波处理涉及对图像质量的改变 频率域处理是先将图像变换到频率域，然后在频率域对图像进行处理，最后通过反变换将图像变为空间域。 傅里叶变换可以将图像变换为频率域， 傅立叶反变换将频率域变换为空间域 时域是以时间为坐标轴表示动态信号的关系， 频域则是把信号变为一频率为坐标轴表示出来。 时域是实际存在的，而频域则是数学构造。 numpy实现傅里叶变换 函数 dst = numpy.fft.fft2(src) dst为一个复数数组 src 原始图像的类型应是灰度图像 该函数处理之后就能得到图像的频谱信息 零频率分量位于频谱图像的左上角 函数 dst = numpy.ffr.fftshift(src) 使用该函数处理后，图像频谱中的零频率分量会被移到频域图像的中心位置 对图像傅里叶变换后得到的是一个复数数组，为了显示图像需要将他们的值调整到 [0 , 255 ] 的灰度空间 公式为 像素新值 = 20 * np.log( np.abs( 频谱值 ) ) 1 import cv2 2 import numpy as np 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 img = cv2.imread("/home

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性

写在前面的话 作者是一名在读的硕士研究僧，方向是机器视觉。由于视觉是一门相对复杂的学科，作者在课堂上学到的东西只是非常浅显的内容，我们老师说是，领我们进了个门。现在打算利用图书馆和网络上的资源进行自学。由于是刚开始写自己的博客，并且所具备的专业知识非常的有限，难免有出错之处，如果有朋友发现一些毛病，希望能够指正。哈哈，话不多说，进入正题。 作者使用的是冈萨雷斯的《数字图像处理（Matlab版）》，打算先用matlab先跟着书上的内容把代码先练一练。以后，再重新学习深入一些的知识。这里不会将书中的全部内容都列一遍，我会选择性的把重要的部分代实现。 频率域 在介绍频率域图像处理之前，先提几个问题。 1.什么是频率域？ 2.为什么要在频率域中进行图像处理？ 频率域的概念 频率域是指从函数的频率角度出发分析函数，和频率域相对的是时间域。简单说就是如果从时间域分析信号时，时间是横坐标，振幅是纵坐标。而在频率域分析的时候则是频率是横坐标，振幅是纵坐标。 举个例子，我们认为音乐是一个随着时间变化的震动。但是如果站在频域的角度上来讲，音乐是一个随着频率变化的震动，这样我们站在时间域的角度去观察你会发现音乐是静止的。同理，如果我们站在时间域的角度观察频率域的世界，就会发现世界是静止的，也是永恒的。这是因为在频率域是没有时间的概念的，那么也就没有了随着时间变化着的世界了。 另外，我们需要借助傅立叶变换

序： 感觉三者在一定程度上有相似性，故将其整理至此文 瞬态声波方程与稳态声波方程 瞬态声波方程 概念：描述时域空间域（波动方程） ∇ 2 p = 1 c 0 2 ∂ 2 p ∂ t 2 \nabla^2 p=\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2} ∇ 2 p = c 0 2 ​ 1 ​ ∂ t 2 ∂ 2 p ​ 稳态声波方程 概念：描述频域空间域（亥姆霍兹方程） ∇ 2 P + k 2 P = 0 \nabla^2 P+k^2P=0 ∇ 2 P + k 2 P = 0 瞬态与稳态的关系 通过傅里叶变换联结（稳态声波方程假设声压单频简谐变化，声波方程化简为亥姆霍兹方程，而通过傅里叶变化可以将一个非周期的时域信号分解成不同频率的简谐信号的叠加） p ( r ⃗ , t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ P ( r ⃗ , ω ) e j ω t d ω = F − 1 [ P ( r ⃗ , ω ) ] p(\vec{r},t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} P(\vec{r},\omega)e^{j\omega t}{\rm d}\omega=\mathscr{F}^{-1}[P(\vec{r},\omega)] p ( r , t ) = 2 π 1 ​ ∫ − ∞ +

https://www.cnblogs.com/warmbeast/p/7809286.html 从傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义，如果我们从它的提出时所面对的问题看起，可以整理出非常清晰的思路。 下面就按照傅里叶–>短时傅里叶变换–>小波变换的顺序，讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。 傅里叶变换 关于傅里叶变换的基本概念在此我们就不再赘述了，默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。 下面我们主要将傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案“对非平稳过程，傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号： 做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率部分。一切没有问题，但是，如果是频率随着时间变化的非平稳信号呢？ 如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。 可见，傅里叶变换处理非平稳信号有先天缺陷

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