递归调用

递归与分治策略 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 在计算机算法设计与分析中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。 例1 阶乘函数 可递归地定义为： 其中： n=0 时，n!=1为边界条件 n>0 时，n!=n(n-1)!为递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。 例2 Fibonacci数列 无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，被称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为： 第n个Fibonacci数可递归地计算如下： int fibonacci(int n){ if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); } 递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。 当边界条件不满足时，递归前进； 当边界条件满足时，递归返回。 注意：在使用递增归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口，否则将无限进行下去（死锁）。 递归的缺点： 递归算法解题的运行效率较低。 在递归调用过程中，系统为每一层的返回点、局部变量等开辟了堆栈来存储。递归次数过多容易造成堆栈溢出等。 例3逆序输出一个正数中的每一位数 例如，对于数12345，依次输出5 4 3 2 1 分析：

$\DeclareMathOperator{\extgcd}{extgcd}$ 作者按：写这篇随笔是为了解释 tourist 的逆元模板 template <typename T> T inverse(T a, T m) { T u = 0, v = 1; while (a != 0) { T t = m / a; m -= t * a; swap(a, m); u -= t * v; swap(u, v); } assert(m == 1); return u; // 注意：u 可能为负数 } 一般的扩展欧几里德算法是求 $x, y$ 使得 $ax + by = \gcd(a,b)$ 。若 $a$ 和 $m$ 互素，扩展欧几里得算法可以用来求 $a$ 在模 $m$ 下的逆元，常见的实现如下 int extgcd(int a, int b, int& x, int& y) { int d = a; if (b != 0) { d = extgcd(b, a % b, y, x); y -= (a / b) * x; } else { x = 1; y = 0; } return d; } int mod_inverse(int a, int m) { int x, int y; extgcd(a, m, x, y); return (m + x % m) % m; } 求 $a$

二叉查找树的实现 1. 原理 　　 二叉查找树，又称为二叉排序树、二叉搜索树。对于树中每一个节点X，它的左子树中所有项的值小于X中的项，而它的右子树中所有项的值大于X中的项。二叉查找树的平均深度为O(log N)，搜索元素的时间复杂度也是O(log N)。是两种库集合类TreeSet、TreeMap实现的基础。 2. public API void makeEmpty( ) --> 置空boolean isEmpty( ) --> 判空AnyType findMin( ) --> 寻找最小值AnyType findMax( ) --> 寻找最大值boolean contains( x ) --> 是否存在元素xvoid insert( x ) --> 插入元素xvoid remove( x ) --> 删除元素xvoid printTree( ) --> 遍历二叉树 3. 核心思想图解：递归 ！寻找最小值 此处用递归实现： ！寻找最大值 此处用非递归实现，也可以用递归实现： ！是否存在元素x 从root开始往下找，找到含有项X的节点，则此操作返回true，没有找到则返回false。 ！插入元素x 从root开始往下找到合适的插入位置，然后插入。 ！删除元素x 从root开始往下找到元素x，找到则删除，并且处理好后续工作。 4. BinarySearchTree代码实现 类中

Python递归函数 　　本篇主要介绍Python中函数的递归，还是从三个方面了解：什么是递归；递归有什么好处；递归的具体用法是什么样的； 一、什么是递归？ 　　在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。记住哦->在函数内部调用其他函数不是函数的嵌套，而在函数内部定义子函数才是函数的嵌套。 递归的特性： 　　1、递归函数必须有一个明确的结束条件。 　　2、每进入更深一层的递归时，问题规模相对于上一次递归都应减少 　　3、相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备（通常前一次的输出就作为后一次的输入）。 　　4、递归效率不高，递归层次过多会导致栈溢出（在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出） 　　先看一个例子，一个关于实现叠加的两种方法的例子： import sys #通过循环来实现叠加 def sum1(n): ''' 1 to n,The sum function ''' sum = 0 for i in range(1,n + 1): sum += i return sum #通过函数的递归来实现叠加 def sum2(n): ''' 1 to n,The sum

递归算法是一种直接或间接调用自身算法的过程。 递归算法解决问题的特点： （1）递归就是在过程或函数里调用自身 （2）在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。 （3）递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低，所以一般不提倡用递归算法设计程序。 （4）在递归调用的过程中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储，递归次数过多容易造成栈溢出等。 2、递归的要求 递归算法所体现的“重复”一般有三个要求： （1）每次调用在规模上都有所缩小（通常是减半） （2）是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备（通常前一次的输出作为后一次的输入） （3）在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的（以规模位达到直接解答的大小为条件）无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。 实例：写函数，利用递归获取斐波那契数列中的第10个数，并将该值返回给调用者。 1 def foo(depth, a1, a2): 2 if depth == 10: 3 return a1 4 a3 = a1 + a2 5 r = foo(depth + 1, a2, a3) 6 return r 7 8 ret = foo(1, 0, 1) 9 print(ret) View Code 来源： https://www.cnblogs

一、二分查找 二分查找的输入是一个有序的元素列表。如果元素在列表中，返回其位置，否则返回null 二分查找每次都将列表分成两半，分别与查询元素对比。舍弃其中一半。然后再另一半中查找元素。 每次都可以排除一半的元素。所以其效率为O（logn以2为底） 二分查找查询的速度非常快，但是要求也比较严格，需要有序的列表。如果是无序的列表，就不能每次排查一半了。 二、递归 递归应该不算算法的一种，但是还是稍微提一下 递归其实就是循环调用某个函数，直到满足条件才退出。 递归中很重要的是基线条件和递归条件 基线条件是退出递归的条件，如果没有基线条件，那么递归不会停止。陷入无限的循环中。 递归条件是满足这些条件才循环调用函数。 两者缺一不可 三、快速排序（排序算法的一种，简称快排） 快排经常会和递归一起使用 其基线条件为，数组为空或者只包含一个元素。因为为空和只有一个元素就不需要排序了，直接返回。 递归条件为，从数组中取出一个元素，将其他元素分成两部分，一部分大于该元素，一部分小于该元素（等于可以包含再大于或者小于之中，都可以），然后递归调用大于该元素的数组和小于该元素的数组。返回大于元素的数组（递归调用结束后有序）+元素+小于元素的数组（递归调用结束后有序）。 快排的最好情况效率是O（n*logn），最坏情况是O（n*n） 假设传入的是一个有序的数组 我们选择的元素是数组第一个元素。

迭代器 迭代器对象：有__next__()方法的对象是迭代器对象，迭代器对象依赖__next__()方法进行依次取值 with open('text.txt','rb',) as f: res = f.__next__() # 第一行内容 print(res) res = f.__next__() # 第二行内容 print(res) 生成器 在 Python 中，使用了 yield 的函数被称为生成器（generator）。 跟普通函数不同的是，生成器是一个返回迭代器的函数，只能用于迭代操作，更简单点理解生成器就是一个迭代器。 在调用生成器运行的过程中，每次遇到 yield 时函数会暂停并保存当前所有的运行信息，返回 yield 的值, 并在下一次执行 next() 方法时从当前位置继续运行。 调用一个生成器函数，返回的是一个迭代器对象。 以下实例使用 yield 实现斐波那契数列： import sys def fibonacci(n): # 生成器函数 - 斐波那契 a, b, counter = 0, 1, 0 while True: if (counter > n): return yield a a, b = b, a + b counter += 1 f = fibonacci(10) # f 是一个迭代器，由生成器返回生成 while True: try:

一、递归的定义 递归就是程序在运行的过程中调用自己（用自己定义自己） 递归的三要素： 边界条件 递归前进段 递归返回段 递归和栈 　　　　递归和栈有这紧密的联系，大多数编译器都是使用栈来实现递归的，当调用方法时，编译器会把这个方法的所有参数和返回地址都压入栈中，然后把控制转移给这个方法。当方法返回时，这些值退栈。参数消失了，并且控制权重新回到返回地址处。 　　　　调用一个方法时，所进行的步骤： 　　　　1）当一个方法被调用时，它的参数和返回地址压入栈中 　　　　2）这个方法可以通过获取栈顶元素访问参数 　　　　3）当这个方法返回时，它查看栈已获取返回地址，然后这个地址和所有参数退栈，并且销毁 　　下图是求阶乘的图示，帮助理解： 　　 二、求整数n的阶乘　 1 /** 2 * 求整数n的阶乘 3 * 4 * @param n 整数n 5 * @return 6 */ 7 public static int factorial(int n) { 8 if (n < 0) { 9 return -1;//返回-1证明参数有问题 10 } 11 if (n == 1 || n == 0) { 12 return 1; 13 } else { 14 return n * factorial(n - 1); 15 } 16 } 三、在有序数组中查找目标值（二分法） 1 /** 2 *

楔子 在讲今天的内容之前，我们先来讲一个故事，讲的什么呢？从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚讲故事，讲的什么呢？从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚讲故事，讲的什么呢？从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚讲故事，讲的什么呢？从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚讲故事，讲的什么呢......这个故事你们不喊停我能讲一天！我们说，生活中的例子也能被写成程序，刚刚这个故事，让你们写，你们怎么写呀？ while True: story = " 从前有个山，山里有座庙，庙里老和尚讲故事， 讲的什么呢？ " print(story) 你肯定是要这么写的，但是，现在我们已经学了函数了，什么东西都要放到函数里去调用、执行。于是你肯定会说，我就这么写： def story(): s = """ 从前有个山，山里有座庙，庙里老和尚讲故事， 讲的什么呢？ """ print(s) while True: story() 但是大家来看看，我是怎么写的！ def story(): s = """ 从前有个山，山里有座庙，庙里老和尚讲故事， 讲的什么呢？ """ print(s) story() story() 先不管函数最后的报错，除了报错之外，我们能看的出来，这一段代码和上面的代码执行效果是一样的。 返回顶部 初识递归 递归的定义—— 在一个函数里再调用这个函数本身

一，概念 直接或间接地调用自身的算法称为 递归算法 。 用函数自身给出定义的函数称为 递归函数 。 二，实例 实例1 ： 阶乘函数 。 通过分析可知，要求一个数的阶乘，只要知道它前一位数的阶乘便可求出。 即： n!=n*(n-1)! 而要求前一位数的阶乘，只要知道它前前一位数的阶乘即可，即 ：(n-1)!=(n-1)*(n-2)!, 因为每次 计算的方式都相同，所以考虑用递归的方式求解。 递归关系：f(n)=n*f(n-1) 递归结束条件：n=1 (因为我们很容易知道1阶乘是1，因此求解其他数的阶乘时，可从1的阶乘开始求起） 代码实现 ： 1 import java.util.*; 2 public class HW8 { 3 public static void main(String[] args) { 4 Scanner in=new Scanner(System.in); 5 System.out.println("请输入所要求的数值："); 6 int n=in.nextInt(); //输入所要遍历的数 7 int number=funtion(n); 8 System.out.println(n+"的阶乘为："+number); 9 10 } 11 12 /** 13 * 求第n个数的阶乘！！！ 14 * @param n 所要求的数的值 15 * @return