欢迎来到小护士读书笔记系列之《深入理解计算机系统》第二章信息的表示和处理（三）。上回，小护士讲到了整数是如何在计算机中表示为无符号数和有符号数的，而这次小护士将说明计算机如何做加减乘除。
无符号数加法跟普通数学运算一样，也是 。唯一不同的地方是无符号数做加法时，如果结果值太大，超出位数最大表示范围，就会溢出。例如：
9+12 = [1001] + [1100] 21 = [10101] 假设仅用4位表示一个数，则对结果值进行截断。可得， 5 = [0101]快速小技巧：21 mod 16 = 21 mod = 5
4次幂对应4位数表示，2为底对应二进制。
如何检测是否溢出？
如果5 < 9 || 5 < 12 == true则为溢出。
补码加法跟无符号数加法差不多，也是遵循普通数学运算逻辑，但由于补码支持负数，因此也会有。
同样，补码加法也会溢出，但分为两种：
- 正溢出：补码的正数相加溢出
- 负溢出：补码的负数相加溢出
为了方便大家理解，直接给出表格说明补码如何做加法：
| x | y | x+y | 截断值 |
|---|---|---|---|
| -8 [1000] | -5 [1011] | -13 [10011] | 3 [0011] |
| -8 [1000] | -8 [1000] | -16 [10000] | 0 [0000] |
| -8 [1000] | 5 [0101] | -3 [11101] | -3 [1101] |
| 2 [0010] | 5 [0101] | 7 [00111] | 7 [0111] |
| 5 [0101] | 5 [0101] | 10 [01010] | -6 [1010] |
补码正负溢出原理：
令，当且仅当 ，，但时，计算发生了正溢出。当且仅当 ，，但时，计算发生了负溢出。
加法逆元听说过吗，例如 ，此时就是的加法逆元。
对于无符号数来说，在四位表示一个数的情况下，，截断后得，此时是的加法逆元。
对于补码来说，同理可得，，截断后得0。
还是直接给出表格展示，比较容易理解。以3位表示一个数：
| ģʽ | x | y | x*y | 截断值 |
|---|---|---|---|---|
| 无符号 | 5 [101] | 3 [011] | 15 [001111] | 7 [111] |
| 补码 | -3 [101] | 3 [011] | -9 [110111] | -1 [111] |
| 无符号 | 4 [100] | 7 [111] | 28 [011100] | 4 [100] |
| 补码 | -4 [100] | -1 [111] | 4 [000100] | -4 [100] |
| 无符号 | 3 [011] | 3 [011] | 9 [001001] | 1 [001] |
| 补码 | 3 [011] | 3 [011] | 9 [001001] | 1 [001] |
乘法的本质就是加法。例如，；相当于。
对于计算机来说，也是一样的，把 3 累加四次得出 12。
但是搞计算机科学的那些教授很厉害，发明了左移操作符<<。
想要得出，很简单。
那如果是呢？对于这种奇数相乘的情况，书本没介绍，只是一笔带过说这个优化不优化完全看编译器心情。:)
大多数编译器只在需要少量移位、加法和减法就足够的时候才使用这种优化。
书中介绍了形式A和形式B的计算方式。但小护士觉得没太大必要去死记这些优化公式，毕竟在芯片实现上就是完全两码事，只是理论上可以用数学的方式来优化计算，减少计算次数。
作为读书笔记，小护士还是觉得要写一下这两个雕虫小技：
例子， ：
因为
所以
书中关于用除以2的幂来优化除法的声明：
除以2的幂可以通过逻辑或算术右移来实现。这也正是为什么大多数机器上提供这两种类型的右移。不幸的是，这种方法不能推广到除以任意常数。同乘法不同，我们不能用除以2的幂的除法来表示除以任意常数 K 的除法。
除法的本质不是减法。除以2的幂的优化方法还有技术细节要死记，但小护士建议不要这样做，那些除以2的幂的补码除法会出现向下舍入和向上舍入的若干问题。因为这里不是重点，所以，建议先跳过，毕竟看这本书的目的还是在于理解整体知识，而不是死记局部知识。而且重头戏是在后面的章节，没必要花大量时间放在第二章的细节理解上。
浮点数是个很特殊的数字，这东西与 IEEE（电气和电子工程师协会）有着深厚的联系。当年为了制定这个浮点数标准，科学家们互怼了很久，里面的感人故事绝对可以拍成电影。