二叉搜索树及其相关操作

• 二叉树(binary tree)是一种树型数据结构，其中它的每个节点最多有两个孩子（可以没有，也可以只有一个）。
• 二叉搜索树(binary search tree)是一种特殊的二叉树，对每个节点，其左孩子/左子树的关键字值该节点的关键字值；其右孩子/右子树的关键字值都大于该节点的关键字值。
• 二叉搜索树的平均深度为O(logN)$O(\log N)$。其中，N$N$为节点总数。
• 二叉搜索树的主要操作有：创建(初始化)二叉树，查找关键字Find，返回最大最小关键字FindMax, FindMin，向树中插入元素Insert，删除节点Delete，遍历二叉树。
• 涉及到二叉树的操作有两种方法实现：递归实现和非递归实现。

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一、二叉(搜索)基本数据结构

• 树是由一个个节点构成，节点的构成成一般为：该节点包含的关键字值(data)，left指针指向其左孩子，right指针指向其右孩子。
• 节点结构的一般声明如下：

typedef struct _TreeNode {  // 定义二叉查找树的结构     ElemType data;          // 数据     struct _TreeNode* left;         // 指向左孩子指针     struct _TreeNode* right;        // 指向其右孩子指针  }TreeNode, *SearchBTree;    // TreeNode表示节点别称，*SearchBTree表示一个指向树（子树）根节点的指针

二、初始化树

• 一般初始化树为一个(TreeNode类型的)空指针。
• 初始化树可以和树的销毁工作合并成MakeEmpty()函数，递归地实现如下。

SearchBTree EmptyTree(SearchBTree T)    // 初始化、构造一颗空树/销毁一颗树 {     if (!T)     {         EmptyTree(T->left);     // 递归地释放空间         EmptyTree(T->right);         delete T;     }     return nullptr; }

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• 根据树的结构特点，比较要插入元素X值与节点关键字的大小，递归地插入（一般递归实现比较简单）。
• 当X值小于某个节点的值，则递归地往其左子树中插入X；当X值大于某个节点的值，则递归地往其右子树中插入X。
• 递归的终止条件是节点为空，申请一个新节点关键字为X插入到树中。

void Insert(SearchBTree &T, ElemType x) {     if (!T)     {         TreeNode* pT = new TreeNode;        // 申请节点空间         pT->data = x;                       // 为节点赋值         pT->left = pT->right = nullptr;         T = pT;                             // 将pT赋给T     }     else     {         if (x < T->data)                // 如果x小于某个结点的数据             Insert(T->left, x);         // 递归地在其左子树上寻找空结点插入         else if (x > T->data)           // 如果x大于某个结点的数据             Insert(T->right, x);        // 递归地在其左子树上寻找空结点插入     } }

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• 在树中查找某个关键字值，并返回其所在节点。
• 递归地进行：从根节点开始，当前节点大于其查找的值，则递归地再其左子树中查找。否则，在其右子树中递归地查找。
• 递归终止的条件是：查找到该关键字所在节点并返回。返回空结点，表示树中没有要查找的关键字值。

TreeNode* Find(SearchBTree T, ElemType x)   // 查找树中是否有值x {     if (T == nullptr)           // 没有找到，返回空指针         return nullptr;     if (x < T->data)            // 递归查找         return Find(T->left, x);     else if (x > T->data)         return Find(T->right, x);     else         return T;               // 查找到了，则返回T指针 }

• 查找树中的最小值
• 1.递归实现：递归地查找其左子树。

TreeNode* FindMin(SearchBTree T)    // 查找最小值，递归实现 {     if (T->left == nullptr)         return T;     else         return FindMin(T->left); }

• 2.非递归实现：从根节点开始，循环遍历每个结点的左孩子，发现左孩子为空，则停止并返回该结点。

TreeNode* FindMin2(SearchBTree T)   // 查找最小值，非递归实现 {     while (T->left != nullptr)         T = T->left;     return T; }

• 查找树中的最大值
• 递归实现：递归地查找其右子树。

TreeNode* FindMax(SearchBTree T)    // 查找最大值 {     if (T->right == nullptr)         return T;     else         return FindMax(T->right); }

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• 分两种情况：
• 1.删除的节点是树叶节点（没孩子）：则直接删除。
• 2.删除的节点是（子树的）根节点：也分两种情况：① 该节点有一个孩子，则直接替换为其孩子节点，然后删除释放其自身。
• ② 该节点有两个孩子，先把该节点的关键字值替换为其右子树的最左边孩子的关键字值（最小值）。然后再删除其右子树自身的最小值。

void Delete(SearchBTree &T, ElemType x)     // 删除指定元素 {     TreeNode *tmpNode = new TreeNode;   // 创建一个临时结点     if (T == nullptr)           // 没有x存在         cout << "404 Not Found\n";     else if (x < T->data)       // x小于某个结点值         Delete(T->left, x);     // 递归地从其左子树删除x     else if (x > T->data)       // x大于某个结点的值         Delete(T->right, x);    // 递归地从其右子树删除x     else                        // 找到了x     {         if (T->left&&T->right)  // x所在结点有两个孩子的情况         {             tmpNode = FindMin(T->right);        // 将临时结点赋值为其右子树中具有最小值的结点（即最左端的结点）             T->data = tmpNode->data;            // 移动数据至要删除的目标结点             Delete(T->right, tmpNode->data);    // 删除其右子树中值为x的结点         }         else         {   // x所在结点只有一个孩子和没有孩子的情况             tmpNode = T;        // 要删除的结点T赋给临时结点tmpNode             if (T->left == nullptr)     // 若当前结点的左孩子为空                 T = T->right;           // 则，将当前结点赋值为其右孩子             else if (T->right == nullptr)   // 若当前结点的右孩子为空                 T = T->left;                // 则，将当前结点赋值为其左孩子             else                 delete tmpNode;             // 否则当前结点为叶子结点(没有孩子)，则直接释放         }     } }

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• 二叉搜索树主要有三种遍历方式：先根（序）遍历，中根（序）遍历，后根（序）遍历
• 1.先根遍历：先访问根节点，再递归地遍历其左子树，最后再递归地遍历其右子树

void PreorderPrint(SearchBTree T)       // 先根(序)遍历二叉树并打印出结点值 {     if (T != nullptr)     {         cout << T->data << " ";         PreorderPrint(T->left);         PreorderPrint(T->right);     } }

• 1.中根遍历：先递归地遍历其左子树，然后再访问根节点，最后再递归地遍历其右子树

void InorderPrint(SearchBTree T)        // 中根(序)遍历二叉树并打印出结点值 {     if (T != nullptr)     {         InorderPrint(T->left);         cout << T->data << " ";         InorderPrint(T->right);     } }

• 3.后根遍历：先递归地遍历其左子树，再递归地遍历其右子树，最后再访问根节点

void PostorderPrint(SearchBTree T)      // 中根(序)遍历二叉树并打印出结点值 {     if (T != nullptr)     {         PostorderPrint(T->left);         PostorderPrint(T->right);         cout << T->data << " ";     } }

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int main() {     const ElemType rawdata[] = { 19, 7, 9, 15, 23, 39, 4, 2, 75, 100, 43, 58 };     SearchBTree myTree = new TreeNode;     myTree = EmptyTree(myTree);     // 初始化树     for (int i = 0;i < sizeof(rawdata) / sizeof(ElemType);i++)     {         Insert(myTree, rawdata[i]);     // 向树中插入给定数据     }     cout << "The preorder print of the tree is: \n";     PreorderPrint(myTree);     cout << endl;     cout << "The inorder print of the tree is: \n";     InorderPrint(myTree);     cout << endl;     cout << "The postorder print of the tree is: \n";     PostorderPrint(myTree);     cout << endl;     cout << "Input a value: ";     ElemType x;     cin >> x;     if (Find(myTree, x))         cout << x << "is in the tree.\n";     else         cout << x << "is not in the tree.\n";      TreeNode* TmpNode = new TreeNode;     TmpNode = FindMin(myTree);     cout << "The minimum value in the tree is: " << TmpNode->data << endl;     TmpNode = FindMax(myTree);     cout << "The maximum value in the tree is: " << TmpNode->data << endl;     cout << "Input a value to delete: ";     cin >> x;     Delete(myTree, x);     cout << "Now, the inorder print of the tree is: \n";     InorderPrint(myTree);     cout << "\nDestroy the tree..." << endl;     EmptyTree(myTree);     system("pause");     return 0; }

The preorder print of the tree is: 19 7 4 2 9 15 23 39 75 43 58 100 The inorder print of the tree is: 2 4 7 9 15 19 23 39 43 58 75 100 The postorder print of the tree is: 2 4 15 9 7 58 43 100 75 39 23 19 Input a value to search: 13 13 is not in the tree. The minimum value in the tree is: 2 The maximum value in the tree is: 100 Input a value to delete: 58 Now, the inorder print of the tree is: 2 4 7 9 15 19 23 39 43 75 100 Destroy the tree...

文章来源: 二叉搜索树及其相关操作