[算法] 最短路径条数问题

给定如图所示的无向连通图，假定图中所有边的权值均为1，显然，从源点A到终点T的最短路径有多条，求不同的最短路径数目。

权值相同的最短路径问题，则单源点Dijkstra$Dijkstra$算法退化为BFS广度优先算法， 使用Dijkstra$Dijkstra$算法只能求的到各个节点的最短路径，但不能求得最短路径的条数。假定起点为0，终点为N，数组step[0...N1]$step[\mathrm{0...}N1]$中step[i]$step[i]$代表到第i$i$个节点的最短路径长度，数组pathNum[0...N1]$pathNum[\mathrm{0...}N1]$中pathNum[i]$pathNum[i]$代表到第i$i$个节点的最短路径条数，首先：

• step[0...N1]$step[\mathrm{0...}N1]$初始化为0
• pathNum[0...N1]$pathNum[\mathrm{0...}N1]$初始化为0
• pathNum[0]$pathNum[0]$为1，即起点到起点的路径数量为1

从当前节点i$i$扩展到邻接节点j$j$时：

• 若step[j]$step[j]$为0，则表示从未到达过节点j$j$，则：

  • step[j]=step[i]+1$step[j]=step[i]+1$，pathNum[j]=pathNum[i]$pathNum[j]=pathNum[i]$

• 若step[j]==step[i]+1$step[j]==step[i]+1$，表示已经有从其他节点到达过节点j$j$，并且路径长度和从节点i$i$到节点j$j$的路径长度相等，则已有到达j$j$的路径数加上经过i$i$到达j$j$的路径数为当前从源点到达节点j$j$的路径数量：

  • pathNum[j]+=pathNum[i]$pathNum[j]+=pathNum[i]$

• 若step[j]>step[i]+1$step[j]>step[i]+1$，则已有的经过其他节点到达节点j$j$的路径长度要比经过节点i$i$到达节点j$j$路径长度要长，则需要更新到达节点j$j$的路径长度和路径数量，即:

  • step[j]=step[i]+1$step[j]=step[i]+1$，pathNum[j]=pathNum[i]$pathNum[j]=pathNum[i]$

• 当扩展到节点N$N$时，终止算法

借助广度优先搜索的思想遍历所有节点，具体实现如CalPathNum.hpp所示：

#ifndef CalPathNum_hpp #define CalPathNum_hpp  #include <stdio.h> #include <string.h> #include <queue>  const int nodeCnt = 16; int calculatePathNum(int graph[nodeCnt][nodeCnt]) {     int step[nodeCnt]; // step[i]表示到第i个节点的步数     int pathNum[nodeCnt]; // pathNum[i]表示到第i个节点的最短路径条数     memset(step, 0, sizeof(int)*nodeCnt);     memset(pathNum, 0, sizeof(int)*nodeCnt);     pathNum[0] = 1; // 起点到起点的路径数量为1     std::queue<int> q; // 广度优先搜索中保存当前到达的节点     q.push(0); // 首先到达起点     int from, i, s;     while (!q.empty()) {         from = q.front();         q.pop();         s = step[from] + 1; // 和from节点相邻的节点的路径长度         for (i = 1; i < nodeCnt; i++) { // 0是起点，不需要遍历             if (graph[from][i] == 1) { // 从from到i是连通的                 if (step[i] == 0 || step[i] > s) { // i节点从未到达过或发现更快的路径                     step[i] = s;                     pathNum[i] = pathNum[from];                     q.push(i); // 将和from相邻的节点入队，相当于广度优先搜索中form节点的下一层节点入队                 } else if(s == step[i]){ // 发现相同长度的路径                     pathNum[i] += pathNum[from];                 }             }         }     }     return pathNum[nodeCnt-1]; }  #endif /* CalPathNum_hpp */

测试代码如main.cpp：

#include "CalPathNum.hpp"  int main(int argc, const char * argv[]) {     // 测试最短路径条数     int graph[16][16];     memset(graph, 0, sizeof(int) * 16 * 16);     graph[0][1] = graph[0][4] = 1;     graph[1][5] = graph[1][0] = graph[1][2] = 1;     graph[2][1] = graph[2][6] = graph[2][3] = 1;     graph[3][2] = graph[3][7] = 1;     graph[4][0] = graph[4][5] = 1;     graph[5][1] = graph[5][4] = graph[5][6] = graph[5][9] = 1;     graph[6][2] = graph[6][5] = graph[6][7] = graph[6][10] = 1;     graph[7][3] = graph[7][6] = 1;     graph[8][9] = graph[8][12] = 1;     graph[9][8] = graph[9][13] = graph[9][10] = 1;     graph[10][9] = graph[10][14] = graph[10][11] = 1;     graph[11][10] = graph[11][15] = 1;     graph[12][8] = graph[12][13] = 1;     graph[13][9] = graph[13][12] = graph[13][14] = 1;     graph[14][10] = graph[14][13] = graph[14][15] = 1;     graph[15][11] = graph[15][14] = 1;     printf("%d\n", calculatePathNum(graph));      return 0; }

该算法事实上是广度优先搜索的一个应用

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