BZOJ2727: [HNOI2012]双十字-树状数组

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给定一个 $R * C$ 的01 矩阵，要求计算出这个 01 矩阵中有多少个双十字。

双十字由两条水平的和一条竖直的“1”线段组成，要求满足以下几个限制：

1.两条水平的线段不能在相邻的两行。

2.竖直线段上端必须严格高于两条水平线段，下端必须严格低于两条水平线段。

3.竖直线段必须将两条水平线段严格划分成相等的两半。

4.上方的水平线段必须严格短于下方的水平线段。

输出双十字的个数 mod 1,000,000,009 的值。

$R, C, N \leq 10000, R * C \leq 1000000$

Solution：

$l r [i]$ 表示从i开始表示最多能左右延伸多少

$d o w n [i]$ 表示从i开始最多往下延伸多少

top[i]表示从i开始最多往上延伸多少

我们考虑枚举下端线段的中点j，然后对于每个上端线段的中点i，对答案的贡献有

$\sum_{l e n = 1}^{l r [j]} m i n (l e n - 1, l r [i]) * t o p [i] * d o w n [j]$

min不是很好处理，我们想办法去掉它

尝试分类讨论：

当 $l r [i] \leq l r [j]$ 时，答案为 $(l r [i] * l r [j] - \frac{l r [i] * (l r [i] + 1)}{2}) * t o p [i] * d o w n [j]$

当 $＞ l r [i] ＞ l r [j]$ 时，答案为 $\frac{l r [j] * (l r [j] - 1)}{2} * t o p [i] * d o w n [j]$

对于每一列的连续的非0区间，我们只需要把关于i的东西全部记录下来，每次结合j进行计算即可

用树状数组维护3个值：

1. $- \frac{l r [i] * (l r [i] + 1)}{2} * t o p [i]$

2. $l r [i] * t o p [i]$

3. $t o p [i]$

因为R和C 不确定，数组可能开不下，所以我们把矩阵压成一维

注意代码里是实时计算top
代码：

#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int l[10010],r[10010],lr[1200010],down[1200010],pos[1200010]; int tr[10010][3],n,m,p,ans,top=1; const int mod=1e9+9; int id(int x,int y){return (x-1)*m+y;} int add(int id,int i,int x) {     //cout<<id<<" "<<i<<" "<<x<<endl;     for (;i<=m;i+=(i&-i))     {         tr[i][id]+=x;         if (tr[i][id]>=mod) tr[i][id]-=mod;         if (tr[i][id]<0) tr[i][id]+=mod;     } } int query(int id,int i) {     int ans=0;     for (;i;i-=(i&-i))     {         ans+=tr[i][id];         if (ans>=mod) ans-=mod;         if (ans<0) ans+=mod;     }     return ans; } int main() {     scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);     for (int x,y,i=1;i<=p;i++) scanf("%d%d",&x,&y),pos[id(x,y)]=1;     for (int i=1;i<=n;i++)     {         l[1]=(!pos[id(i,1)]);         for (int j=2;j<=m;j++) if (!pos[id(i,j)]) l[j]=l[j-1]+1;else l[j]=0;         r[m]=(!pos[id(i,m)]);         for (int j=m-1;j>=1;j--) if (!pos[id(i,j)]) r[j]=r[j+1]+1;else r[j]=0;         for (int j=1;j<=m;j++)             lr[id(i,j)]=min(l[j],r[j])-1;             //,cout<<i<<" "<<j<<" "<<lr[id(i,j)]<<endl;     }     for (int i=1;i<=m;i++)     {         down[id(n,i)]=(!pos[id(n,i)]);         for (int j=n-1;j>=1;j--)             if (!pos[id(j,i)]) down[id(j,i)]=down[id(j+1,i)]+1;     }     for (int i=1;i<=n*m;i++) if (down[i]) down[i]--;      for (int i=1;i<=m;i++)     {         for (int j=1;j<=n;j++)         {             if (pos[id(j,i)]){memset(tr,0,sizeof(tr));top=j+1;continue;}             ans=(1ll*query(0,lr[id(j,i)])*down[id(j,i)]+ans)%mod;             ans=(1ll*query(1,lr[id(j,i)])*down[id(j,i)]%mod*lr[id(j,i)]+ans)%mod;             ans=(1ll*(query(2,m)-query(2,lr[id(j,i)])+mod)*down[id(j,i)]%mod*lr[id(j,i)]*(lr[id(j,i)]-1)/2+ans)%mod;         //  cout<<ans<<endl;             if (j==1) continue;             if (pos[id(j-1,i)]) continue;             if (lr[id(j-1,i)])             {                 add(0,lr[id(j-1,i)],(1ll*(-lr[id(j-1,i)]*(lr[id(j-1,i)]+1)/2)*(j-1-top)%mod+mod)%mod);                 add(1,lr[id(j-1,i)],lr[id(j-1,i)]*(j-1-top));                 add(2,lr[id(j-1,i)],j-1-top);             }         }         memset(tr,0,sizeof(tr));top=1;     }     printf("%d",ans); }

文章来源: BZOJ2727: [HNOI2012]双十字-树状数组

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