2014年华中科技大学理科实验班选拔试题―数学 | Math173
来源：兰琦网页
一、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）
1、设\(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)，则\(n\)重复合函数\(f_n(x)=f(f(\cdots f(x)\cdots))=\)_______．
2、设多项式\(p(x)\)满足\(p\left(x^2+1\right)=\left(p(x)\right)^2+1\)和\(p(0)=0\)，则\(p(x)=\)_______.
3、设\(S_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}\)，则极限\(\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\)_______.
4、对\(x>0\)，函数\(f(x)=\dfrac{\left(x+\dfrac1x\right)^6-\left(x^6+\dfrac1{x^6}\right)-2}{\left(x+\dfrac1x\right)^3+\left(x^3+\dfrac1{x^3}\right)}\)的最小值为_______．
5、假设\(20\)名学生中的每一名学生可从提供的六门课程中选学一门至六门，也可以一门都不选．试判断下列命题是否正确：存在\(5\)名学生和两门课程，使得这\(5\)名学生都选了这两门课，或者都没选，选填“正确”或“否”_______．
二、（本题共14分）
1、若\(a\)为正整数而\(\sqrt a\)不为整数，证明：\(\sqrt a\)为无理数.
2、试证：除\(0,0,0\)外，没有其他整数\(m,n,p\)使得\[m+n\sqrt2+p\sqrt3=0.\] 三、（本题共16分） 设\(a,b,c\)为三角形三边之长，\(p=\dfrac{a+b+c}2\),\(r\)为内切圆半径，证明：\[\dfrac1{(p-a)^2}+\dfrac1{(p-b)^2}+\dfrac1{(p-c)^2}\geqslant\dfrac1{r^2}.\]
四、（本题共12分） 证明：设\(m\)是任一正整数，则\(a_m=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2^m}\)不是整数．
参考答案
一、填空题
1、\(\dfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}}\)．
方程\(p(x)-x=0\)有无数个零点，于是\(p(x)=x\)．
提示
提示
提示
提示
四、略
提示
עһ
注二伯特兰-切比雪夫定理，含\(p\)的项唯一，进而即得．
五、\(3:0\)
2015年华中科技大学理科实验班选拔试题―数学 | Math173
一、填空题
1、对抛物线\(y^2=2\sqrt 2x\)，若设其焦点为\(F\)，\(y\)轴正半轴上一点为\(N\)．若准线上存在唯一的点\(P\)使得\(\angle NPF=90^\circ\)，则\(N\)点的纵坐标为_______．
2、\(\dfrac{1}{\sqrt 1+\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 2+\sqrt 3}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{255}+\sqrt{256}}=\)______．
3、若已知\(\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{i}-\ln n\right)\)存在，则\(\sum\limits_{i=0}^{+\infty}{\dfrac{(-1)^{i+2}}{i+1}}=\)_______．
4、在边长为\(1\)的正方形中（含边界）取\(9\)个点，其中必有\(3\)个点，它们构成的三角形面积不超过_______．
5、某人打靶打中 8 环、9 环、10 环的概率分别为\(0.15\)、\(0.25\)、\(0.2\)，现他开三枪，不少于\(28\)环的概率为_______．
二、解答题
6、若对任意实数\(x,y\)，有\(f\left((x-y)^2\right)=\left(f(x)\right)^2-2x\cdot f(y)+y^2\)，求\(f(x)\)．
7、求所有\(a,b\)，使\(\left|\sqrt{1-x^2}-ax-b\right|\leqslant \dfrac{\sqrt 2-1}2\)成立，其中\(x\in [0,1]\)．
8、若复数\(z\)满足\(|z|=1\)，求\(\left|z^3-z+2\right|^2\)的最小值．
9、已知三次方程\(x^3+ax^2+bx+c=0\)有三个实根．
（1）若三个实根为\(x_1,x_2,x_3\)，且\(x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\)，\(a,b\)为常数，求\(c\)变化时\(x_3-x_1\)的取值范围；
（2）若三个实根为\(a,b,c\)，求\(a,b,c\)．
参考答案
一、填空题
2、\(15\)
3、\(\ln 2\)
4、\(\dfrac 18\)
提示：如图．
二、解答题
6、\(f(x)=x\lor f(x)=x+1\) 提示：令\(x=y\)得\[f(0)=\left(f(x)-x\right)^2,\]再令\(x=0\)可得\(f(0)=0\lor f(0)=1\)．
8、\(\dfrac {8}{27}\) 提示：利用共轭复数，并令\(x=z+\bar z\)，则有原式等于\(2x^3-x^2-8x+8\)，其中\(x\in [-2,2]\)．
9、（1）\(\left[\sqrt{a^2-3b},2\sqrt{\dfrac{a^2}3-b}\right]\)；
（2）有理解为\((a,b,c)=(0,0,0),(1,-1,-1),(1,-2,0)\)，无理解为\(\left(-\dfrac 1b,b,\dfrac 2b-b\right)\)，其中\(b=t+\dfrac 2{3t}\)，而\(t=\sqrt [3]{-1+\sqrt{\dfrac {19}{27}}}\)．
每日一题[29] 一般三次方程的解法 | Math173
今天的问题是从2011年第二届世界数学锦标赛青年组接力赛第二轮的一道试题开始的．
求方程\[(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\]的所有实数根之和．
这道试题并不是今天的问题，仅仅是提示而已．今天的问题是16世纪的竞赛题（那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛）：
解关于\(x\)的方程\[x^3+px+q=0.\]
问题的关键在于如何进行恰当的换元．
注意到\[\left(t+\dfrac 1t\right)^3=t^3+\dfrac 1{t^3}+3\left(t+\dfrac 1t\right).\] 也就是说，如果\(p=-3\)，那么我们做换元\(x=t+\dfrac 1t\)，方程就转化为\[t^3+\dfrac 1{t^3}+q=0,\]即\[(t^3)^2+q\cdot t^3+1=0,\]可以利用二次方程的求根公式求得\(t^3\)，进而求出\(t\)，然后代回\(x=t+\dfrac 1t\)，求根过程就完成了．
现在面临的困难是如何处理\(p\)，需要对换元进行一个小小的改造．
由于\[\left(t+\dfrac ut\right)^3=t^3+\dfrac{u^3}{t^3}+3u\left(t+\dfrac ut\right),\]因此令\(x=t+\dfrac ut\)，其中\(u\)为待定系数，那么原方程变为\[t^3+\dfrac{u^3}{t^3}+(3u+p)\cdot\left(t+\dfrac ut\right)+q=0.\] 在这个方程中，令\(u=-\dfrac p3\)，就会和之前一样变成一个关于\(t^3\)的二次方程，以下略．
事实上，任何一个三次方程\[ax^3+bx^2+cx+d=0,a\neq 0\]都可以利用完全立方公式\[\left(x+\dfrac b{3a}\right)^3=x^3+\dfrac bax^2+\dfrac {b^2}{3a^2}x+\dfrac {b^3}{27a^3}=0\]通过配方转化为\[x^3+px+q=0\]的形式．因此掌握了这个方法，就等于掌握了一般三次方程的解法．
在一般三次方程的解法中，我们用到的换元\(x=t+\dfrac ut\)同样也是解高次方程的重要换元．需要注意到的是，在每一步的求解过程中，要先弄清是求方程的实根还是所有根．
最后留一道练习题．
求关于\(x\)的方程\[x^5+10x^3+20x-4=0\]的所有根．
答案是\[x=\left(2^{\frac 35}-2^{\frac 25}\right)\cos\dfrac{2k\pi}{5}+\left(2^{\frac 35}+2^{\frac 25}\right)\mathcal{i}\sin\dfrac{2k\pi}{5},k=0,1,2,3,4.\]其中用到的代换为\(x=t-\dfrac 2t\)．