1.数据结构与算法简介

例题：（问题规模）

如果a+b+c = 1000, 且a^2 + b^2 = c^2(a,b,c为自然数），如何求出所有a, b, c可能的组合？

import time # def condition_solution(): #     start_time = time.time() #     for a in range(1001): #         for b in range(1001): #             for c in range(1001): #                 if 1000 == a + b + c and a*a + b*b == c*c: #                     print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c)) #     end_time = time.time() #     cost = end_time - start_time #     pri# nt("cost: %f" % cost) #  def condition_solution():     start_time = time.time()     for a in range(1001):         for b in range(1001):                 c = 1000 - a - b                  if 1000 == a + b + c and a*a + b*b == c*c:                     print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c))     end_time = time.time()     cost = end_time - start_time     print("cost: %f" % cost)  if __name__ == "__main__":     condition_solution()

输入: 算法具有0个或多个输入
输出: 算法至少有1个或多个输出
有穷性: 算法在有限的步骤之后会自动结束而不会无限循环，并且每一个步骤可以在可接受的时间内完成
确定性：算法中的每一步都有确定的含义，不会出现二义性
可行性：算法的每一步都是可行的，也就是说每一步都能够执行有限的次数完成

我们假定计算机执行算法每一个基本操作的时间是固定的一个时间单位，那么有多少个基本操作就代表会花费多少时间单位。显然对于不同的机器环境而言，确切的单位时间是不同的，但是对于算法进行多少个基本操作（即花费多少时间单位）在规模数量级上却是相同的，由此可以忽略机器环境的影响而客观的反应算法的时间效率。

对于算法的时间效率，我们可以用“大O记法”来表示。

“大O记法”：对于单调的整数函数f，如果存在一个整数函数g和实常数c>0，使得对于充分大的n总有f(n)<=c*g(n)，就说函数g是f的一个渐近函数（忽略常数），记为f(n)=O(g(n))。也就是说，在趋向无穷的极限意义下，函数f的增长速度受到函数g的约束，亦即函数f与函数g的特征相似。

时间复杂度：假设存在函数g，使得算法A处理规模为n的问题示例所用时间为T(n)=O(g(n))，则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为T(n)

分析算法时，存在几种可能的考虑：

算法完成工作最少需要多少基本操作，即最优时间复杂度
算法完成工作最多需要多少基本操作，即最坏时间复杂度
算法完成工作平均需要多少基本操作，即平均时间复杂度

对于最优时间复杂度，其价值不大，因为它没有提供什么有用信息，其反映的只是最乐观最理想的情况，没有参考价值。

对于最坏时间复杂度，提供了一种保证，表明算法在此种程度的基本操作中一定能完成工作。

对于平均时间复杂度，是对算法的一个全面评价，因此它完整全面的反映了这个算法的性质。但另一方面，这种衡量并没有保证，不是每个计算都能在这个基本操作内完成。而且，对于平均情况的计算，也会因为应用算法的实例分布可能并不均匀而难以计算。

因此，我们主要关注算法的最坏情况，亦即最坏时间复杂度。

基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)
顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
分支结构，时间复杂度取最大值
判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略
在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。

空间复杂度(SpaceComplexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。

执行次数函数举例	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n^2+2n+1	O(n^2)	平方阶
5log2n+20	O(logn)	对数阶
2n+3nlog2n+19	O(nlogn)	nlogn阶
6n^3+2n^2+3n+4	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶

注意，经常将log2n（以2为底的对数）简写成logn

所消耗的时间从小到大

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

练习：时间复杂度练习( 参考算法的效率规则判断 )
O(5)
O(2n + 1)

timeit模块可以用来测试一小段Python代码的执行速度。

10.1 class timeit.Timer(stmt='pass', setup='pass', timer=<timer function>)

Timer是测量小段代码执行速度的类。

stmt参数是要测试的代码语句（statment）；

setup参数是运行代码时需要的设置；

timer参数是一个定时器函数，与平台有关。

10.2 timeit.Timer.timeit(number=1000000)

Timer类中测试语句执行速度的对象方法。number参数是测试代码时的测试次数，默认为1000000次。方法返回执行代码的平均耗时，一个float类型的秒数。

def t1():    l = []    for i in range(1000):       l = l + [i] def t2():    l = []    for i in range(1000):       l.append(i) def t3():    l = [i for i in range(1000)] def t4():    l = list(range(1000))  from timeit import Timer  timer1 = Timer("t1()", "from __main__ import t1") print("concat ",timer1.timeit(number=1000), "seconds") timer2 = Timer("t2()", "from __main__ import t2") print("append ",timer2.timeit(number=1000), "seconds") timer3 = Timer("t3()", "from __main__ import t3") print("comprehension ",timer3.timeit(number=1000), "seconds") timer4 = Timer("t4()", "from __main__ import t4") print("list range ",timer4.timeit(number=1000), "seconds")  # ('concat ', 1.7890608310699463, 'seconds') # ('append ', 0.13796091079711914, 'seconds') # ('comprehension ', 0.05671119689941406, 'seconds') # ('list range ', 0.014147043228149414, 'seconds')

pop操作测试

x = range(2000000) pop_zero = Timer("x.pop(0)","from __main__ import x") print("pop_zero ",pop_zero.timeit(number=1000), "seconds") x = range(2000000) pop_end = Timer("x.pop()","from __main__ import x") print("pop_end ",pop_end.timeit(number=1000), "seconds")  # ('pop_zero ', 1.9101738929748535, 'seconds') # ('pop_end ', 0.00023603439331054688, 'seconds')