DP总结

tags： DP 笔记

学长疯狂拉进度，先挂到这里，以后慢慢补充。。。

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澶х翰

1. \(DP\)设计思路 //OK
   • 三要素
   • 三条件
   • 解题步骤
2. 几种常见\(DP\)类型
   • 线性\(DP\)
   • 区间\(DP\)
   • 环形\(DP\)
3. 简单背包
   • \(01\)背包
   • 完全背包
   • 多重背包
   • 混合背包
4. 基础图论与\(DP\)
   • 树形\(DP\)
   • 基环树\(DP\)
5. 简单的\(DP\)优化
   • 决策单调性
   • 斜率优化

1. 背包问题拓展
   • 多维费用
   • 分组背包
   • 物品依赖
   • 泛化物品
2. 期望\(DP\)
   • 概念
   • 期望的线性性质
   • 期望\(DP\)
3. ״ѹ\(DP\)
   • 位运算
   • 状态压缩

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• 什么是\(DP\)？

• 动态规划算法（\(DP,Dynamic\) \(programming\)），它针对满足某一条件的一类问题，对各״̬维度进行分阶段、有顺序、无重复、决策性地转移求解。

• 能干什么？

• 动态规划通过把复杂问题分解为相对简单的子问题的方式来求解原问题。

• 动态规划三要素

• 分别是״̬、决策、阶段。

• 动态规划三条件

• 分别是子问题重叠、无后效性、最优子结构。

• 解题步骤

1. 确定问题的研究对象，即确定״̬。
2. 划分阶段，确定阶段之间的状态转移方程。
3. 考察此问题现在可否用动态规划来解决：
4. 考察此问题是否具有最优子结构。
5. 考察此问题是否为无后效性。
6. 如果发现此问题目前不能用动态规划来解决，则应该调整相应的定义与划分，以达到可以用动态规划来解决。

• 定义
  每个状态维度都具有“线性”变化的“阶段”的\(DP\)被称为线性\(DP\)。

\(PS\)：不需要知道太多概念，能拿来用就行了。

• 定义
  样本（\(\omega\)）：一次随机试验产生的一个结果。
  样本空间（\(\Omega\)）：一个随机试验的所有可能的结果的全体，即\(\Omega=\{\omega\}\)。
  事件（\(A\)）：某一类结果，即\(A\subset\Omega\)。
  基本事件（\(s\)）：各个互斥的事件即为基本事件。

我们借助样本空间S来定义概率。样本空间是基本事件的集合。

• 概率论公理
  样本空间\(S\)的概率分布\(Pr\{\}\)是一个从\(S\)的事件到实数的映射，它满足以下公理：
  1. 非负性：对于任意事件\(A\)，\(Pr\{A\}\geqslant 0\)。
  2. 正则性：\(Pr\{S\}=1\)。
  3. 可列可加性：对于两个互斥事件\(A\)与\(B\)，有\(Pr\{A\cup B\}=Pr\{A\}+Pr\{B\}\)。更一般地，对于任意有限或无限事件序列\(A_1,A_2,...,\)若其两两互斥，则有：
     \[ Pr\{\bigcup_iA_i\}=\sum Pr\{A_i\} \]
• 期望

简单理解，期望的意义就是概率的加权平均数。

假设某随机试验\(X\)共有\(n\)种互斥的事件可能发生，其中第\(i\)个事件发生的概率为\(P_i\)，价值为\(X_i\)，则这个随机试验的期望是\(E(X)=\sum P_iX_i\)。

期望也可以从频率的角度来理解，我们知道如果不断重复某个随机试验，某个事件发生的频率会趋近于其概率，而将发生过所有事件的价值取平均值，这个值就会趋近于这个随机试验的期望。

\[ E(X+Y)=E(X)+E(Y)....(1) \]

\[ E(aX)=aE(X)..............(2) \]

\[ E(XY)=E(X)E(Y)..........(3) \]

证明如下

(1)ʽ:

(2)ʽ:

(3)ʽ:

用数学归纳法可推广到多个。

• 定义

所求结果为某事件的期望的动态规划。

实际上这类动态规划并不是一个新的类型，它都是在原有的动态规划的基础上，将所求的值改成了概率*和期望的相关值，换句话说，这类问题的难度其实还是在动态规划的原型上，概率和期望只是表象。

亚瑟王