斐波那契数列最常见的表示方式就是递归表示：
我们在编程实现时也常用递归、迭代等方法，如果可以用一个等式来表示任意斐波那契数，会是怎么样的呢？上网时看到了AN INTEGER FORMULA FOR FIBONACCI NUMBERS这篇文章，觉得挺有意思的，整理记录一下。
常见实现方法
递归
def fib_recursive(n):
if n < 2: return 1
return fib_recursive(n-1)+fib_recursive(n-2)
1
2
3
迭代
def fib_iterative(n):
a, b = 1, 1
for x in range(n):
a, b = a + b, a
return b
1
2
3
4
5
矩阵幂
def fib_matrix(n):
m = numpy.matrix('1 1 ; 1 0') ** n
return m.item(0)
1
2
3
这个方法可以算是从迭代法衍生而来，所求的就是矩阵m的m11m11。
(an+1bn+1)=(an+bnan)=(1110)(anbn)=(1110)n+1(11)
(an+1bn+1)=(an+bnan)=(1110)(anbn)=(1110)n+1(11)
通项公式
def fib_phi(n):
phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2.0
psi = (1 - math.sqrt(5)) / 2.0
return int((phi ** (n+1) - psi ** (n+1)) / math.sqrt(5))
1
2
3
4
生成函数实现
斐波那契数列生成函数
F(x)=1+x+2x2+3x3+5x4+8x5+...=∑nFib(n)xn
F(x)=1+x+2x2+3x3+5x4+8x5+...=∑nFib(n)xn
∑nFib(n+2)xn+2=∑nFib(n+1)xn+2+∑nFib(n)xn+2
∑nFib(n+2)xn+2=∑nFib(n+1)xn+2+∑nFib(n)xn+2
由生成函数易知：
∑nFib(n+1)xn+1∑nFib(n+2)xn+2=x+2x2+3x3+5x4+8x5+...=2x2+3x3+5x4+8x5+...
∑nFib(n+1)xn+1=x+2x2+3x3+5x4+8x5+...∑nFib(n+2)xn+2=2x2+3x3+5x4+8x5+...
等式可化简为：
这个结果有个很好玩的特性，式子得到的值本身就是一个斐波那契数列！比如x=0.001x=0.001：
实现
为了简便计算和方便程序，将值转换为整数(10kn10kn)，并将模10换为模2(方便了很多，学到了)。
对于k值的选择，要保证斐波那契数“不溢出”，要满足Fib(n+1)<2kFib(n+1)<2k。对比斐波那契数列和2n2n的变化趋势，斐波那契数列的增长速度明显慢于指数增长，所以k=n+1k=n+1是安全的。想要得到第n个斐波那契数，可以通过取余(mod)得到。
代码实现：
def fib(n):
return (4 << n*(3+n)) // ((4 << 2*n) - (2 << n) - 1) & ((2 << n) - 1)
1
2
从效率出发，这种方法不如那些经典的方法。但是为”老生常谈”的斐波那契数列提供一个新的角度，多些新奇，也有些收获。在按位与(&)运算前我们得到了一个由整个斐波那契数列构成的整数，哈哈。
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